6.1 Analyses de la longueur de cheminement et du profil
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tout n, alors la loi de W n converge vers la loi de Y lorsque n tend vers l’infini. Nous
allons donc dessiner la densité de W n .
En utilisant un générateur aléatoire d’un logiciel de calcul formel, nous obtenons
des tirages indépendants de W 0 et de U , puis avec la transformation S nous obtenons
N tirages indépendants de W n . Appelons X 1 , . . . , X N ces tirages.
Pour le dessin proprement dit de la densité de W n , nous l’approchons par f N qui
est un « estimateur de densité à noyau », de la façon suivante. Soient h n = n −1/5
(optimal selon les statisticiens) et K le noyau (densité de la loi normale)
K(x) =
1
√
2π
exp
−
x 2
2
.
Le graphe de la fonction
f N (x) =
1
Nh N
N
k=1
K
x − X k
h N
est ensuite dessiné (cf. la figure 6.7). La suite de fonctions (f N ) converge vers la
densité de W n lorsque N tend vers l’infini (c’est un résultat classique de statistique,
voir par exemple le livre de Silverman [235]).
Fig. 6.7 Estimation de la densité de Y , en faisant N = 1000 tirages indépendants de W 2 (rouge),
W 4 , (vert) et W 6 (noir)