6.1 Analyses de la longueur de cheminement et du profil
239
qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini par le lemme 6.14. Le double produit
E
nU
n + 1
V U − UY
1 −
nU
n + 1
V
∗
1−U − (1 − U)Y
∗
s’écrit comme au-dessus en scindant sur les événements {U ∈]
j
n ,
j +1
n ]}. Et comme
les variables Y, Y ∗ , Y j , Y ∗
j sont de moyenne nulle, il ne reste plus que
n−1
j =0
E
1 U ∈]
j
n ,
j+1
n ]
Y Y
∗
j + 1
n + 1
− U
2
≤
Var(Y )
n 2 .
Le double produit (et ce sera pareil pour le dernier)
E
nU
n + 1
V U − UY
(C n (nU − C(U )) ,
écrit en scindant sur les événements {U ∈]
j
n ,
j +1
n ]}, en tenant compte des indépendances et de E(Y j − Y ) = 0, se réduit à
n−1
j =0
E
1 U ∈]
j
n ,
j+1
n ]
Y
j + 1
n + 1
− U
(C n (j + 1) − C(U ))
= 0.
Finalement, le lemme est prouvé.
Le théorème ainsi obtenu est le suivant.
Théorème 6.17 La loi de Y n , longueur de cheminement renormalisée d’un abr,
Y n =
1
n + 1
(lce(τ n ) − E (lce(τ n ))) ,
converge vers la loi d’une variable aléatoire Y , unique solution de l’équation en
loi :
Y
L
= UY
(1)
+ (1 − U)Y
(2)
+ C(U ),
(6.18)
où
(i) Y (1) et Y (2) sont indépendantes et de même loi que Y ;
(ii) U suit une loi uniforme sur [0, 1] et est indépendante de Y (1) et Y (2) ;
(iii) C est une fonction de ]0, 1[ dans ]0, 1[ définie par : C(x) := 1 + 2(x log x +
(1 − x) log(1 − x)).
Remarque 6.18 La loi de Y n’est pas une loi classique. Elle admet une densité sur
R tout entier, comme l’ont montré Fill et Janson [76].