6.1 Analyses de la longueur de cheminement et du profil
237
sont de moyenne nulle :
d
2
2 (S(F ), S(G)) ≤ ≤UX
(1) + (1 − U)X
(2) + C(U ) − UY
(1) − (1 − U)Y
(2) − C(U )
2
2
= E
U(X
(1)
− Y
(1) ) + (1 − U )(X
(2)
− Y
(2) )
2
= E
U
2
+ (1 − U)
2
d
2
2 (F, G).
Comme U est de loi uniforme sur [0, 1],
C
2
:= E
U
2
+ (1 − U)
2
= 2
1
0
x
2 dx =
2
3
.
et la constante de contraction recherchée est donc C =
2
3 < 1.
Par conséquent, le théorème du point fixe de Banach s’applique à la transformation S de (M 0 , d 2 ) dans (M 0 , d 2 ). En particulier, 5 il existe une unique solution dans
(M 0 , d 2 ) de l’équation (6.16). Appelons-la Y .
Etape 4 Il s’agit de montrer la convergence en loi de Y n vers Y . Comme la
convergence pour d 2 est plus forte que la convergence en loi, il suffit de montrer
que si ν n est la loi de Y n et ν la loi de Y , on a d 2 (ν n , ν) −→
n→∞
0. La preuve consiste à
montrer le lemme suivant, en s’appuyant sur les deux équations (6.14) et (6.16).
Lemme 6.16 Appelons a n la distance d 2 (ν n , ν). Alors, il existe une constante K
telle que
a
2
n ≤
2
n
n−1
j =0
(j + 1) 2
(n + 1) 2 a
2
j +
K
n 2
n−1
j =0
j + 1
n + 1
a j + o(1).
(6.17)
Munis de ce lemme, il est simple de voir que a n tend vers 0 quand n tend vers l’infini
: on commence par montrer par récurrence sur n que la suite (a n ) est bornée. Comme
elle est positive, c’est qu’il existe une valeur d’adhérence. Soit la plus grande des
valeurs d’adhérence. Alors un calcul à partir de (6.17) conduit à 2 ≤
2
3 2 , donc
= 0.
Preuve Soit n ≥ 1. Soient Y et Y ∗ deux variables aléatoires indépendantes de loi
ν et, pour tout j = 0, . . . , n − 1, soient Y j et Y ∗
j indépendantes et de loi ν j , qui
réalisent la distance d 2 (ν j , ν), c’est-à-dire que d 2
2 (ν j , ν) = ||Y j − Y || 2 = ||Y ∗
j −
5 Le théorème de Banach dit davantage, notamment : pour tout G ∈ M 0 , la suite (S n (G)) n∈N est
une suite de Cauchy qui converge et la convergence a lieu à la vitesse C n vers une limite qui est
l’unique solution de l’équation de point fixe S(F ) = F .
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sont de moyenne nulle :
d
2
2 (S(F ), S(G)) ≤ ≤UX
(1) + (1 − U)X
(2) + C(U ) − UY
(1) − (1 − U)Y
(2) − C(U )
2
2
= E
U(X
(1)
− Y
(1) ) + (1 − U )(X
(2)
− Y
(2) )
2
= E
U
2
+ (1 − U)
2
d
2
2 (F, G).
Comme U est de loi uniforme sur [0, 1],
C
2
:= E
U
2
+ (1 − U)
2
= 2
1
0
x
2 dx =
2
3
.
et la constante de contraction recherchée est donc C =
2
3 < 1.
Par conséquent, le théorème du point fixe de Banach s’applique à la transformation S de (M 0 , d 2 ) dans (M 0 , d 2 ). En particulier, 5 il existe une unique solution dans
(M 0 , d 2 ) de l’équation (6.16). Appelons-la Y .
Etape 4 Il s’agit de montrer la convergence en loi de Y n vers Y . Comme la
convergence pour d 2 est plus forte que la convergence en loi, il suffit de montrer
que si ν n est la loi de Y n et ν la loi de Y , on a d 2 (ν n , ν) −→
n→∞
0. La preuve consiste à
montrer le lemme suivant, en s’appuyant sur les deux équations (6.14) et (6.16).
Lemme 6.16 Appelons a n la distance d 2 (ν n , ν). Alors, il existe une constante K
telle que
a
2
n ≤
2
n
n−1
j =0
(j + 1) 2
(n + 1) 2 a
2
j +
K
n 2
n−1
j =0
j + 1
n + 1
a j + o(1).
(6.17)
Munis de ce lemme, il est simple de voir que a n tend vers 0 quand n tend vers l’infini
: on commence par montrer par récurrence sur n que la suite (a n ) est bornée. Comme
elle est positive, c’est qu’il existe une valeur d’adhérence. Soit la plus grande des
valeurs d’adhérence. Alors un calcul à partir de (6.17) conduit à 2 ≤
2
3 2 , donc
= 0.
Preuve Soit n ≥ 1. Soient Y et Y ∗ deux variables aléatoires indépendantes de loi
ν et, pour tout j = 0, . . . , n − 1, soient Y j et Y ∗
j indépendantes et de loi ν j , qui
réalisent la distance d 2 (ν j , ν), c’est-à-dire que d 2
2 (ν j , ν) = ||Y j − Y || 2 = ||Y ∗
j −
5 Le théorème de Banach dit davantage, notamment : pour tout G ∈ M 0 , la suite (S n (G)) n∈N est
une suite de Cauchy qui converge et la convergence a lieu à la vitesse C n vers une limite qui est
l’unique solution de l’équation de point fixe S(F ) = F .