6.1 Analyses de la longueur de cheminement et du profil
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Puis en écrivant lce(τ n ) = (n + 1)Y n + E(lce(τ n )),
Y n
L
=
1
n + 1
G n Y
(1)
G n −1 + E(lce
(1)
τ G n −1
) + (n + 1 − G n )Y
(2)
n−G n
+ E
lce
(2)
τ n−G n
+ n − 1 − E(lce(τ n ))
Y n
L
=
G n
n + 1
Y
(1)
G n −1 +
1 −
G n
n + 1
Y
(2)
n−G n
+ C n (G n ),
(6.14)
qui est bien une équation en loi sur Y n .
Etape 2 Les deux lemmes suivants permettent de deviner l’équation limite de (6.14)
lorsque n tend vers l’infini.
Lemme 6.13 Si G n est une variable aléatoire de loi uniforme sur les entiers
{1, 2, . . . , n}, alors
G n
n
−→ Unif [0, 1]
en loi.
(6.15)
Lemme 6.14 Pour la suite (C n ) définie par (6.13),
sup
x∈]0,1[
C n (nx) − C(x)
−→
n→∞
0.
où
C(x) = 1 + 2 (x log x + (1 − x) log(1 − x)) .
Le lemme 6.13 est immédiat. Le lemme 6.14 repose sur un calcul explicite basé sur
les moyennes
E(lce(τ i )) = 2(H i+1 − 1)(i + 1),
et sur le développement asymptotique des nombres harmoniques H i .
Ainsi, l’équation limite de (6.14) (sous réserve de la convergence en loi de Y n
vers Y ) est nécessairement
Y
L
= UY
(1)
+ (1 − U)Y
(2)
+ C(U ),
(6.16)
où Y (1) et Y (2) sont indépendantes et de même loi que Y et où U est une variable
aléatoire de loi uniforme sur [0, 1], indépendante de Y (1) et Y (2) .
Cette équation peut s’écrire F = S(F ) où S est la transformation définie pour
toute loi F par :
F −→ S(F ) = L(U X
(1)
+ (1 − U)X
(2)
+ C(U )),