CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
2.4 Marches aléatoires absorbées ou réfléchies
2.4.1 Barrières absorbantes
Considérons une marche aléatoire sur Z avec deux barrières absorbantes aux points 0
et a ∈ N
∗ . Dans ce cas, la marche s’arrête dès qu’elle atteint 0 ou a. Nous avons donc
avec les notations précédentes P 0,0 = P a,a = 1. Une marche aléatoire absorbée en 0 et
en a pourra modéliser toute situation de capture comme par exemple la dynamique d’un
poisson dans une rivière avec deux filets de pêche aux positions 0 et a ou celle d’une
particule de plancton quand le fond de la mer est recouvert de moules (prédatrices de
plancton) et la surface recouverte d’une nappe de pollution.
Nous souhaitons savoir avec quelle probabilité la marche aléatoire va être absorbée et
dans ce cas, quelle sera la probabilité d’être absorbée dans chacun des pièges.
Notons comme précédemment P k la probabilité conditionnée au fait que X 0 = k et O
l’événement "la marche est absorbée en 0". Ainsi, O = {T 0 < ∞}. Nous allons déterminer la probabilité μ k = P k (O) d’atteindre 0 pour une position initiale k. Nous avons
immédiatement
P k (O) = P k (O | Z 1 = 1) P (Z 1 = 1) + P k (O | Z 1 = −1) P (Z 1 = −1) ,
(2.9)
d’où
p μ k+1 + (1 − p) μ k−1 − μ k = 0
(2.10)
pour k ∈ {1, . . . , a − 1}, avec les conditions aux limites μ 0 = 1, μ a = 0. L’équation (2.10)
est une équation de récurrence linéaire, pour laquelle nous cherchons d’abord les solutions
de la forme μ k = r
k . Le nombre r doit satisfaire l’équation caractéristique
p r
2 − r + (1 − p) = 0 ,
dont les solutions sont r 1 = 1, r 2 = (1 − p)/p. Deux cas se présentent alors.
• p = 1/2 (marche asymétrique). Les deux racines sont différentes, les solutions de (2.10)
sont de la forme μ k = α r
k
1 + β r
k
2 et α et β sont déterminés par les conditions aux
limites. Nous obtenons
P k (O) =
1−p
p
a −
1−p
p
k
1−p
p
a − 1
, 0 ≤ k < a.
(2.11)
Procédant de même pour l’événement A : "la marche aléatoire atteint a avant 0", nous
constatons que P k (A) satisfait (2.10), avec les conditions aux limites μ 0 = 0, μ a = 1.
Le calcul donne alors que P k (A) = 1 − P k (O) : l’individu est piégé en un temps fini,
avec probabilité 1.
28
2.4 Marches aléatoires absorbées ou réfléchies
2.4.1 Barrières absorbantes
Considérons une marche aléatoire sur Z avec deux barrières absorbantes aux points 0
et a ∈ N
∗ . Dans ce cas, la marche s’arrête dès qu’elle atteint 0 ou a. Nous avons donc
avec les notations précédentes P 0,0 = P a,a = 1. Une marche aléatoire absorbée en 0 et
en a pourra modéliser toute situation de capture comme par exemple la dynamique d’un
poisson dans une rivière avec deux filets de pêche aux positions 0 et a ou celle d’une
particule de plancton quand le fond de la mer est recouvert de moules (prédatrices de
plancton) et la surface recouverte d’une nappe de pollution.
Nous souhaitons savoir avec quelle probabilité la marche aléatoire va être absorbée et
dans ce cas, quelle sera la probabilité d’être absorbée dans chacun des pièges.
Notons comme précédemment P k la probabilité conditionnée au fait que X 0 = k et O
l’événement "la marche est absorbée en 0". Ainsi, O = {T 0 < ∞}. Nous allons déterminer la probabilité μ k = P k (O) d’atteindre 0 pour une position initiale k. Nous avons
immédiatement
P k (O) = P k (O | Z 1 = 1) P (Z 1 = 1) + P k (O | Z 1 = −1) P (Z 1 = −1) ,
(2.9)
d’où
p μ k+1 + (1 − p) μ k−1 − μ k = 0
(2.10)
pour k ∈ {1, . . . , a − 1}, avec les conditions aux limites μ 0 = 1, μ a = 0. L’équation (2.10)
est une équation de récurrence linéaire, pour laquelle nous cherchons d’abord les solutions
de la forme μ k = r
k . Le nombre r doit satisfaire l’équation caractéristique
p r
2 − r + (1 − p) = 0 ,
dont les solutions sont r 1 = 1, r 2 = (1 − p)/p. Deux cas se présentent alors.
• p = 1/2 (marche asymétrique). Les deux racines sont différentes, les solutions de (2.10)
sont de la forme μ k = α r
k
1 + β r
k
2 et α et β sont déterminés par les conditions aux
limites. Nous obtenons
P k (O) =
1−p
p
a −
1−p
p
k
1−p
p
a − 1
, 0 ≤ k < a.
(2.11)
Procédant de même pour l’événement A : "la marche aléatoire atteint a avant 0", nous
constatons que P k (A) satisfait (2.10), avec les conditions aux limites μ 0 = 0, μ a = 1.
Le calcul donne alors que P k (A) = 1 − P k (O) : l’individu est piégé en un temps fini,
avec probabilité 1.
28