CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
Remarquons que si la chaîne de Markov est irréductible et si il existe un état i tel que
P
(n)
i,i > 0 pour n ≥ n(i) assez grand, alors la chaîne est apériodique. En effet soient deux
états j et k. Comme la chaîne est irréductible, il existe n 1 et n 2 tels que P
(n1)
j,i
> 0 et
P
(n2)
i,k > 0. Mais alors, pour n ≥ n 1 + n(i) + n 2 , nous avons
P
(n)
j,k ≥ P
(n1)
j,i P
(n−n1−n2)
i,i
P
(n2)
i,k > 0.
Signalons également qu’il existe une autre définition de l’apériodicité d’une chaîne de
Markov, équivalente à celle que nous avons donnée, qui est développée dans l’exercice
2.6.5.
Nous avons observé dans la preuve du Théorème 2.3.6 (3) que si l’état j est transitoire,
alors pour n tendant vers l’infini, la limite de P
(n)
i,j est nulle. Pour espérer obtenir un
comportement en temps long non trivial de la chaîne de Markov, nous allons donc supposer
que celle-ci est irréductible, apériodique et récurrente positive. Nous allons prouver le
théorème de convergence suivant, appelé théorème ergodique (fort).
Théorème 2.3.9 Soit (X n ) n une chaîne de Markov irréductible, récurrente positive et
apériodique de matrice de transition (P i,j ). Alors pour tous i, j ∈ N,
lim
n→∞
P
(n)
i,j = lim
n→∞
P i (X n = j) =
1
E j (T j )
.
Preuve. Nous savons par le Théorème 2.3.6 que la chaîne X a une unique probabilité
stationnaire π et que π j =
1
Ej (Tj )
. La preuve du résultat utilise une technique de couplage.
Introduisons deux chaînes indépendantes X
1 et X
2 de même matrice de transition que la
chaîne X. La chaîne X
1 est issue de i et X
2
0 a pour loi π. Soit Y = (X
1 , X
2 ) ∈ Z
2 . Nous
montrerons au Lemme 2.3.10 que le processus Y est une chaîne de Markov irréductible,
récurrente positive et et apériodique. Soit T = inf {n ≥ 0, X
1
n = X
2
n }. Bien que les deux
chaînes n’aient pas la même condition initiale, elles auront même loi après le temps T .
Remarquons que
P(X
1
n = j) = P(X
1
n = j, T > n) + P(X
1
n = j, T ≤ n)
= P(X
1
n = j, T > n) + P(X
2
n = j, T ≤ n)
≤ P(T > n) + P(X
2
n = j).
En inversant les rôles de X
1 et X
2 nous obtenons finalement que
|P(X
1
n = j) − P(X
2
n = j)| ≤ P(T > n).
De plus nous savons que P(X
2
n = j) = π j . La preuve du théorème sera immédiate dès
lors que l’on montre que P(T > n) tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Or comme
Y est récurrente positive, T , qui est le temps d’atteinte de la diagonale par Y , est fini
presque-sûrement, ce qui nous permet de conclure.
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Remarquons que si la chaîne de Markov est irréductible et si il existe un état i tel que
P
(n)
i,i > 0 pour n ≥ n(i) assez grand, alors la chaîne est apériodique. En effet soient deux
états j et k. Comme la chaîne est irréductible, il existe n 1 et n 2 tels que P
(n1)
j,i
> 0 et
P
(n2)
i,k > 0. Mais alors, pour n ≥ n 1 + n(i) + n 2 , nous avons
P
(n)
j,k ≥ P
(n1)
j,i P
(n−n1−n2)
i,i
P
(n2)
i,k > 0.
Signalons également qu’il existe une autre définition de l’apériodicité d’une chaîne de
Markov, équivalente à celle que nous avons donnée, qui est développée dans l’exercice
2.6.5.
Nous avons observé dans la preuve du Théorème 2.3.6 (3) que si l’état j est transitoire,
alors pour n tendant vers l’infini, la limite de P
(n)
i,j est nulle. Pour espérer obtenir un
comportement en temps long non trivial de la chaîne de Markov, nous allons donc supposer
que celle-ci est irréductible, apériodique et récurrente positive. Nous allons prouver le
théorème de convergence suivant, appelé théorème ergodique (fort).
Théorème 2.3.9 Soit (X n ) n une chaîne de Markov irréductible, récurrente positive et
apériodique de matrice de transition (P i,j ). Alors pour tous i, j ∈ N,
lim
n→∞
P
(n)
i,j = lim
n→∞
P i (X n = j) =
1
E j (T j )
.
Preuve. Nous savons par le Théorème 2.3.6 que la chaîne X a une unique probabilité
stationnaire π et que π j =
1
Ej (Tj )
. La preuve du résultat utilise une technique de couplage.
Introduisons deux chaînes indépendantes X
1 et X
2 de même matrice de transition que la
chaîne X. La chaîne X
1 est issue de i et X
2
0 a pour loi π. Soit Y = (X
1 , X
2 ) ∈ Z
2 . Nous
montrerons au Lemme 2.3.10 que le processus Y est une chaîne de Markov irréductible,
récurrente positive et et apériodique. Soit T = inf {n ≥ 0, X
1
n = X
2
n }. Bien que les deux
chaînes n’aient pas la même condition initiale, elles auront même loi après le temps T .
Remarquons que
P(X
1
n = j) = P(X
1
n = j, T > n) + P(X
1
n = j, T ≤ n)
= P(X
1
n = j, T > n) + P(X
2
n = j, T ≤ n)
≤ P(T > n) + P(X
2
n = j).
En inversant les rôles de X
1 et X
2 nous obtenons finalement que
|P(X
1
n = j) − P(X
2
n = j)| ≤ P(T > n).
De plus nous savons que P(X
2
n = j) = π j . La preuve du théorème sera immédiate dès
lors que l’on montre que P(T > n) tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Or comme
Y est récurrente positive, T , qui est le temps d’atteinte de la diagonale par Y , est fini
presque-sûrement, ce qui nous permet de conclure.
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