CHAPITRE 2. POPULATIONS SPATIALES ET TEMPS DISCRET
passage en i. Nous avons m
i
i = 1 et par la propriété de Markov, pour j = i,
m
i
j = E i
Ti
n=1
Xn=j
= P i (X 1 = j, T i ≥ 1) +
n≥2
P i (X n = j, T i ≥ n)
= P i,j +
i =k
n≥2
P i (X n−1 = k, T i ≥ n − 1, X n = j)
= P i,j +
k
n≥2
P i (X n−1 = k, T i ≥ n − 1)
P k,j = (m
i .P ) j .
Ainsi, m
i P = m
i et la mesure m
i est une mesure invariante. Montrons que cette mesure
est strictement positive en chaque point et est de masse finie.
La chaîne est irréductible et donc il existe n > 0 tel que P
(n)
i,j > 0. Ainsi, puisque m
i
i = 1,
nous avons
0 < P
(n)
i,j = m
i
i P
(n)
i,j ≤ (m
i .P ) j = m
i
j .
De plus, par le théorème de Fubini, nous avons
j∈Z m
i
j = E i (T i ), qui est fini par hypothèse.
Nous avons donc montré l’existence d’une probabilité invariante π définie par π j =
m i
j
Ei(Ti)
.
En particulier, π i =
1
Ei(Ti)
.
(2) Soit ν une autre mesure invariante, c’est à dire une mesure (positive) sur Z vérifiant
ν.P = ν. Nous pouvons supposer sans perdre de généralité que ν i = 1. Alors, pour tout j,
ν j = P i,j +
k1 =i
ν k1 P k1,j
= P i,j +
k1 =i
P i,k1 P k1,j +
k1,k2 =i
ν k2 P k2,k1 P k1,j
≥
∞
n=1
k1,··· ,kn =i
P i,kn P kn,kn−1 · · · P k1,j + P i,j ,
d’où
ν j ≥
∞
n=0
P i (X n+1 = j, T i ≥ n + 1) = m
i
j .
Ainsi, la mesure μ = ν − m
i est une mesure positive, stationnaire et vérifie μ i = 0.
Introduisons alors j et n tel que P
(n)
j,i > 0. Nous avons
0 = μ i =
k
μ k P
(n)
k,i ≥ μ j P
(n)
j,i .
Cela entraîne que nécéssairement μ j = 0, et ceci pour tout j. Nous avons donc montré
l’unicité d’une mesure invariante telle ν i = 1. Ainsi, toute mesure invariante est proportionnelle à m
i . C’est en particulier vrai pour les mesures m
j , pour tout j ∈ Z. Nous en
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