6.4. LA COALESCENCE : DESCRIPTION DES GÉNÉALOGIES
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Théorème 6.4.3 Soit T le temps du plus récent ancêtre commun des k individus de
l’échantillon. Alors
E(T ) = 2
1 −
1
k
.
(6.4.24)
Preuve. Nous écrivons
T = T k−1 = T k−1 − T k−2 + . . . + T 1 .
T est donc la somme de k − 1 variables aléatoires exponentielles indépendantes
de paramètres
(k−i+1)(k−i)
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, pour i variant de 1 à k − 1. Ainsi,
E(T ) =
k−1
i=1
2
(k − i)(k − i + 1)
= 2
k−1
i=1
1
k − i
−
1
k − i + 1
= 2
1 −
1
k
.
Théorème 6.4.4 (cf. Durrett [31]). Si π est une partition de {1, . . . , k} en blocs, soit
π = (B 1 , B 2 , . . . , B ). Alors cette partition pourra être réalisée au temps T k− et
P(Π T k− = π) =
!
k!
(k − )!( − 1)!
(k − 1)!
i=1
(Card(B i ))!.
(6.4.25)
Nous avons ainsi une description de la loi du k-coalescent.
Dans la suite, nous noterons
c k,, =
!
k!
(k − )!( − 1)!
(k − 1)!
(6.4.26)
et si B 1 , . . . , B sont les blocs de la partition π, nous définirons
w(π) =
i=1
(Card(B i ))!.
(6.4.27)
Ainsi la probabilité qu’au (k − )-ième temps de coalescence, le k-coalescent à blocs
soit égal à π, est le produit du terme c k,, qui ne dépend que de k et , et du poids
i=1 (Card(B i ))! qui favorise les partitions inégales. (Le lecteur pourra vérifier à titre
d’exemple qu’une partition de 5 individus composée de deux blocs de 2 et 3 individus
aura un poids égal à 12 alors qu’une partition composée de deux blocs de 4 et 1 individus
aura le poids 24).
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