2.5 Pour aller plus loin
37
d’où P(X n ∈ A) − μ(A) P(T > n). Appliqué à A et A
c , cela donne
d VT (Loi(X n ), μ) P(T > n), n 0.
Le résultat découle du théorème 1.17 sur le collectionneur de coupons.
La figure 1.2 illustre le phénomène de convergence abrupte.
2.5 Pour aller plus loin
La marche aléatoire simple sur Z
d , étudiée notamment par George Pólya puis par Frank Spitzer, fait partie des modèles de base des probabilités.
Elle fait l’objet d’une attention particulière dans les livres de William Feller
[Fel68], Frank Spitzer [Spi70], Peter G. Doyle et Laurie Snell [DS84], et de
James Norris [Nor98a]. La démonstration du théorème 2.7 est tirée d’un article [CF51] de Kai Lai Chung et Wolfgang Heinrich Johannes Fuchs. Cette
analyse de Fourier peut être poussée plus loin, comme expliqué par exemple
dans les livres de Gregory Lawler et Vlada Limic [Law13, LL10]. L’astuce
combinatoire de Désiré André se trouve dans [And87].
Les nombres de Catalan interviennent très fréquemment en combinatoire.
Ils comptent, outre les chemins de la marche aléatoire simple, les mots de
Dyck, les parenthésages, les triangulations d’un polygone, les partitions non
croisées, les chemins sous-diagonaux dans le carré, les arbres planaires, etc.
La physique statistique a inspiré nombre de modèles de marches aléatoires :
marches aléatoires en milieu aléatoire, en paysage aléatoire, en auto interaction (évitement, renforcement, excitation, . . . ), etc. Ce sujet historique est
d’une grande richesse et fait toujours l’objet de recherches à l’heure actuelle.
Les chapitres 3, 6, et 15 font intervenir des marches aléatoires. Par ailleurs le
théorème limite central permet de concevoir le mouvement brownien comme
un analogue en temps et en espace continus de la marche aléatoire simple,
obtenu comme limite d’échelle de modèles discrets (εZ
d approche R
d ). Le
problème de Dirichlet discret est étudié en détail dans le livre de Gregory
Lawler [Law13]. Le problème de Dirichlet possède une version à temps et
espace continus, étudiée dans le chapitre 24, qui est une limite d’échelle du
problème de Dirichlet discret. Au niveau du processus, la marche aléatoire
simple symétrique devient le mouvement brownien grâce au théorème limite
central, tandis qu’au niveau du générateur, le laplacien discret devient l’opérateur différentiel laplacien grâce à une formule de Taylor. Le champ libre
gaussien constitue un objet fondamental en physique mathématique, abordé
par exemple dans le livre de James Glimm et Arthur Jaffe [GJ87], tandis que
sa limite d’échelle est présentée dans l’article [She07] de Scott Sheffield.
Le modèle de battage de cartes étudié dans ce chapitre, bien que peu
réaliste, a le mérite de mener très simplement au phénomène important de
convergence abrupte à l’équilibre, commun à la plupart des manières de mélanger les cartes qui ont été étudiées, comme par exemple le «riffle shuffle» :
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d’où P(X n ∈ A) − μ(A) P(T > n). Appliqué à A et A
c , cela donne
d VT (Loi(X n ), μ) P(T > n), n 0.
Le résultat découle du théorème 1.17 sur le collectionneur de coupons.
La figure 1.2 illustre le phénomène de convergence abrupte.
2.5 Pour aller plus loin
La marche aléatoire simple sur Z
d , étudiée notamment par George Pólya puis par Frank Spitzer, fait partie des modèles de base des probabilités.
Elle fait l’objet d’une attention particulière dans les livres de William Feller
[Fel68], Frank Spitzer [Spi70], Peter G. Doyle et Laurie Snell [DS84], et de
James Norris [Nor98a]. La démonstration du théorème 2.7 est tirée d’un article [CF51] de Kai Lai Chung et Wolfgang Heinrich Johannes Fuchs. Cette
analyse de Fourier peut être poussée plus loin, comme expliqué par exemple
dans les livres de Gregory Lawler et Vlada Limic [Law13, LL10]. L’astuce
combinatoire de Désiré André se trouve dans [And87].
Les nombres de Catalan interviennent très fréquemment en combinatoire.
Ils comptent, outre les chemins de la marche aléatoire simple, les mots de
Dyck, les parenthésages, les triangulations d’un polygone, les partitions non
croisées, les chemins sous-diagonaux dans le carré, les arbres planaires, etc.
La physique statistique a inspiré nombre de modèles de marches aléatoires :
marches aléatoires en milieu aléatoire, en paysage aléatoire, en auto interaction (évitement, renforcement, excitation, . . . ), etc. Ce sujet historique est
d’une grande richesse et fait toujours l’objet de recherches à l’heure actuelle.
Les chapitres 3, 6, et 15 font intervenir des marches aléatoires. Par ailleurs le
théorème limite central permet de concevoir le mouvement brownien comme
un analogue en temps et en espace continus de la marche aléatoire simple,
obtenu comme limite d’échelle de modèles discrets (εZ
d approche R
d ). Le
problème de Dirichlet discret est étudié en détail dans le livre de Gregory
Lawler [Law13]. Le problème de Dirichlet possède une version à temps et
espace continus, étudiée dans le chapitre 24, qui est une limite d’échelle du
problème de Dirichlet discret. Au niveau du processus, la marche aléatoire
simple symétrique devient le mouvement brownien grâce au théorème limite
central, tandis qu’au niveau du générateur, le laplacien discret devient l’opérateur différentiel laplacien grâce à une formule de Taylor. Le champ libre
gaussien constitue un objet fondamental en physique mathématique, abordé
par exemple dans le livre de James Glimm et Arthur Jaffe [GJ87], tandis que
sa limite d’échelle est présentée dans l’article [She07] de Scott Sheffield.
Le modèle de battage de cartes étudié dans ce chapitre, bien que peu
réaliste, a le mérite de mener très simplement au phénomène important de
convergence abrupte à l’équilibre, commun à la plupart des manières de mélanger les cartes qui ont été étudiées, comme par exemple le «riffle shuffle» :