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26 Modèles de diffusion cinétique
est la loi invariante du processus (X, V ). Elle vérifie, pour toute fonction f
de classe C
2 et à support compact,
Af dπ = 0.
Démonstration. Puisque (X, V ) est un processus gaussien, toute loi invariante
est une loi gaussienne. De plus, le point σ
2 /(2λμ)(0, 0, 1, 0, μ) est l’unique
point fixe des équations différentielles du lemme 26.3. On remarque enfin que
(x t , v t , a t , b t , c t ) −−−→
t→∞
σ
2
2λμ
(0, 0, 1, 0, μ)
pour toutes conditions initiales finies puisque les parties réelles des valeurs
propres de M et N sont strictement positives.
Remarque 26.9 (Irréversibilité). Contrairement au cas du processus d’Ornstein-Uhlenbeck, on peut vérifier que le générateur A du processus n’est pas
auto-adjoint dans L
2 (π). En d’autres termes, le semi-groupe (Q t ) t0 n’est pas
réversible pour la loi invariante π.
Dans la suite, on cherche à quantifier la convergence de la loi de X t vers la
loi invariante π lorsque t tend vers +∞ en termes de distance de Wasserstein
ou d’entropie relative comme cela a été fait pour le processus d’OrnsteinUhlenbeck dans le chapitre 25.
Grâce à la formule explicite pour la distance W 2 entre deux lois gaussiennes donnée dans la section 25.5 (version multivariée de celle du théorème
25.14), on peut estimer la distance de Wasserstein entre la loi de (X t , V t ) et
la loi invariante lorsque la loi initiale est gaussienne. La figure 26.3 représente
l’évolution de l’entropie relative et du carré de la distance de Wasserstein de
la loi au temps t par rapport à la loi invariante π. La figure 26.3 suggère que
l’entropie relative de la loi au temps t par rapport à la loi invariante décroît
par paliers. Contrairement à l’entropie relative, la distance W 2 n’est pas du
tout une fonction décroissante du temps !
Théorème 26.10 (Décroissance de l’entropie). Si π t est la loi de (X t , V t ) et
h t est sa densité par rapport à la mesure π, alors
d
dt
Ent(π t |π) = −
|∇ v h t |
2
h t
dπ.
Démonstration. Pour alléger les calculs, on suppose sans perte de généralité
que σ est égal à
√
2. En vertu du lemme 26.5, la loi π t de (X t , V t ) admet une
densité u t par rapport à la mesure de Lebesgue. Elle est solution de l’équation
aux dérivées partielles suivante (équation de Fokker-Planck cinétique)
∂ t u t + v · ∇ x u t − μx · ∇ v u t = Δ v u t + ∇ v · (λvu t ),
26 Modèles de diffusion cinétique
est la loi invariante du processus (X, V ). Elle vérifie, pour toute fonction f
de classe C
2 et à support compact,
Af dπ = 0.
Démonstration. Puisque (X, V ) est un processus gaussien, toute loi invariante
est une loi gaussienne. De plus, le point σ
2 /(2λμ)(0, 0, 1, 0, μ) est l’unique
point fixe des équations différentielles du lemme 26.3. On remarque enfin que
(x t , v t , a t , b t , c t ) −−−→
t→∞
σ
2
2λμ
(0, 0, 1, 0, μ)
pour toutes conditions initiales finies puisque les parties réelles des valeurs
propres de M et N sont strictement positives.
Remarque 26.9 (Irréversibilité). Contrairement au cas du processus d’Ornstein-Uhlenbeck, on peut vérifier que le générateur A du processus n’est pas
auto-adjoint dans L
2 (π). En d’autres termes, le semi-groupe (Q t ) t0 n’est pas
réversible pour la loi invariante π.
Dans la suite, on cherche à quantifier la convergence de la loi de X t vers la
loi invariante π lorsque t tend vers +∞ en termes de distance de Wasserstein
ou d’entropie relative comme cela a été fait pour le processus d’OrnsteinUhlenbeck dans le chapitre 25.
Grâce à la formule explicite pour la distance W 2 entre deux lois gaussiennes donnée dans la section 25.5 (version multivariée de celle du théorème
25.14), on peut estimer la distance de Wasserstein entre la loi de (X t , V t ) et
la loi invariante lorsque la loi initiale est gaussienne. La figure 26.3 représente
l’évolution de l’entropie relative et du carré de la distance de Wasserstein de
la loi au temps t par rapport à la loi invariante π. La figure 26.3 suggère que
l’entropie relative de la loi au temps t par rapport à la loi invariante décroît
par paliers. Contrairement à l’entropie relative, la distance W 2 n’est pas du
tout une fonction décroissante du temps !
Théorème 26.10 (Décroissance de l’entropie). Si π t est la loi de (X t , V t ) et
h t est sa densité par rapport à la mesure π, alors
d
dt
Ent(π t |π) = −
|∇ v h t |
2
h t
dπ.
Démonstration. Pour alléger les calculs, on suppose sans perte de généralité
que σ est égal à
√
2. En vertu du lemme 26.5, la loi π t de (X t , V t ) admet une
densité u t par rapport à la mesure de Lebesgue. Elle est solution de l’équation
aux dérivées partielles suivante (équation de Fokker-Planck cinétique)
∂ t u t + v · ∇ x u t − μx · ∇ v u t = Δ v u t + ∇ v · (λvu t ),