12
1 Pile, face, coupons
=
r − k
r
n
=
1 −
k
r
n
.
On utilise enfin le principe d’inclusion-exclusion ou crible de Poincaré
2 .
Il est délicat de déduire le comportement de la queue de T en fonction de
n et r à partir du théorème 1.13 en raison de l’alternance des signes.
Théorème 1.14 (Déviation). Pour tout réel t > 0,
P(T > rt + r log(r)) = P
T − r log(r)
r
> t
e
−t+εr
où ε r = (rt + r log(r) − −rt + r log(r))/r ∈ [0, 1/r[.
Démonstration. Pour tout entier n 1, on peut écrire
P(T > n) = P(∪
r
i=1 E n,i )
r
i=1
P(E n,i ) où E n,i := {X 1 = i, . . . , X n = i}.
Comme P(E n,i ) = (1 − 1/r)
n e
−n/r , on choisit n = rt + r log(r).
Pour α > 0 et r fixés, on peut choisir t assez grand pour que e
−t+εr
α,
par exemple t = − log(α) + 1/r, ce qui donne l’intervalle de prédiction non
asymptotique [r, r log(r) − r log(α) + 1] de niveau 1 − α pour T .
Théorème 1.15 (Comportement asymptotique).
T
r log(r)
P
−→
r→∞
1.
Démonstration. Fixons ε > 0. Par l’inégalité de Markov et le lemme 1.12,
P
T
r log(r)
− 1
> ε
E((T − r log(r))
2 )
ε 2 r 2 log(r) 2
=
Var(T ) + (E(T ) − r log(r))
2
ε 2 r 2 log(r) 2
= O
1
log(r) 2
.
횿
횿
Il s’agit d’une preuve par méthode du second moment. Dans le même esprit,
une méthode du quatrième moment est utilisée pour le théorème 11.6.
La borne établie dans la preuve du théorème précédent n’est pas sommable
en r et ne permet donc pas de démontrer une convergence presque sûre en
utilisant le lemme de Borel-Cantelli, qui n’aurait de sens qu’avec un espace de
2. P(∪
n
k=1 A k ) =
n
j=1
(−1)
j+1
k 1 <... P(A k 1 ∩ · · · ∩ A k j ).