16.1 Percolation dans un graphe
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Fig. 16.1. Réalisation du graphe aléatoire (V, F ) du graphe euclidien E2 sous P 1/2 .
La monotonie de θ conduit à introduire la notion de probabilité critique :
p c = sup {p ∈ [0, 1] : θ(p) = 0} ∈ [0, 1].
Démonstration. Si p = 0 alors F est vide et donc θ(0) = 0 tandis que si
p = 1 alors F = E et θ(1) = 1. Pour établir la monotonie en p, on procède
par un couplage de toutes les lois (P p ) p∈[0,1] . Soient (U e ) e∈E des v.a.r. i.i.d.
de loi uniforme sur [0, 1]. Pour tout p ∈ [0, 1] on réalise P p comme la loi de
F p := (1 {Uep} ) e∈E . Si p p
, alors F p ⊂ F p . Toute arête de (V, F p ) est
aussi une arête de (V, F p ). Si x ↔ y pour (V, F p ) alors c’est aussi le cas pour
(V, F p ). Par conséquent on obtient
θ(p) = P p (∅ ↔ ∞) P p (∅ ↔ ∞) = θ(p
).
Remarque 16.2 (Couplage et monotonie). Munissons Ω de l’ordre partiel
issu de l’inclusion dans P 2 (V ), ce qui signifie que F F
ssi toute arête de
(V, F ) est aussi une arête de (V, F
). Pour toute f : Ω → R bornée, l’argument
de couplage utilisé dans la preuve du lemme 16.1 assure que si f est croissante
alors p ∈ [0, 1] → E p (f ) l’est aussi.