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15 Renforcement
E(f (|Δ n+1 |) | F n ) = f (|Δ n |) + 1 {Δn=0} f (|Δ n |),
et (f (|Δ n |)) n0 est une sous-martingale. Considérons maintenant le
cas spécial où f (0) = 0 et, pour tout n 1,
f (n) =
n−1
k=0
ρ
−
k(k+1)
2
.
Comme f est bornée, il en découle que la sous-martingale f (|Δ|) est
uniformément bornée : elle converge donc p.s. (et en moyenne). Comme
f est injective et comme |Δ| prend ses valeurs dans N, les valeurs
prises par f (|Δ|) sont discrètes. Comme f (|Δ|) converge p.s., elle ne
peut converger que vers le seul point d’accumulation de f (N), qui est
lim n→∞ f (n) =
∞
k=0 ρ
−
k(k+1)
2
. Ainsi p.s. lim n→∞ |Δ n | = ∞. À présent, pour tous N, d 0, la probabilité que la suite |Δ| soit croissante
à partir du rang N sachant que |Δ N | = d vaut
P(∀n N : |Δ n+1 | = |Δ n | + 1 | |Δ N | = d) =
∞
k=d
1
1 + ρ −k =: p d .
La probabilité p d ne dépend pas de N , et tend en croissant vers 1
lorsque d → ∞. Ainsi la probabilité que |Δ| soit croissante à partir
d’un certain rang (aléatoire) s’écrit
P(∃N 0, ∀n N : |Δ n+1 | = |Δ n | + 1)
Elle est supérieure à
sup
N 0
P(∀n N, |Δ n+1 | = |Δ n | + 1) = sup
N 0
∞
d=0
p d P(|Δ N | = d).
Or pour tout d 0, on a lim N →∞ P(|Δ N | = d) = 0 car nous savons
que lim N →∞ |Δ N | = ∞ p.s. Par conséquent, pour tout D 0,
sup
N 0
∞
d=0
p d P(|Δ N | = d) sup
N 0
∞
d=D
p d P(|Δ N | = d) p D .
Comme P D → 1 quand D → ∞, il en découle que presque sûrement
|Δ| est croissante à partir d’un certain rang, et donc la suite X est
absorbée par α ou par β. La loi de la limite de X est symétrique par
symétrie du modèle en α et β car A 0 = B 0 .
15.4 Théorème de Rubin
Cette section est consacrée à un théorème de Rubin sur les urnes de Pólya généralisées. On se donne deux fonctions croissantes S α , S β : N → R +