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15 Renforcement
Or
n
j=k+1
1 −
b
j
≈ exp
−
n
k=k+1
b
j
≈ exp
− b(log(n) − log(k))
=
k
n
b
,
d’où
m n (1) ≈ cn
−b
n
0
s
b ds = cn
−b n
b+1
b + 1
=
cn
b + 1
,
de sorte que
lim
n→∞
m n (1)
n
=
c
b + 1
=
2
3
.
Plus généralement, pour tout d > 1, on a
m n+1 (d) = c n (d) +
1 −
b(d)
n
m n (d)
où
b(d) = d/2 et c n (d) =
d − 1
2
m n (d − 1)
n
,
et on montre par récurrence sur d que c(d) = lim n→∞ c n (d) existe et
m n (d)
n
−→
n→∞
c(d)
b(d) + 1
.
Ensuite, en posant
(d) := lim
n→∞
m n (d)
n
on obtient (1) = 2/3, tandis que pour tout d > 1,
(d) =
(d−1)
2 (d − 1)
d
2 + 1
=
d − 1
d + 2
(d − 1).
Enfin, la solution de cette récurrence en d est (facile à vérifier !)
(d) =
4
d(d + 1)(d + 2)
.
15.3 Marche aléatoire renforcée
Le phénomène du renforcement est à l’œuvre dans l’apparition des chemins
empruntés par les passants dans les montagnes ou par les fourmis sur le sol.
Considérons deux chemins distincts α et β reliant les mêmes points de départ
et d’arrivée, empruntés par des passants successifs. Pour tout n 1, on code