14.4 Compléments de combinatoire
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Théorème 14.15 (Table unique). On a A 1,1 = 1 et A n,n ∈ {0, 1} pour tout
n 1. Pour tout n 2, la probabilité qu’il n’y ait qu’une seule table vaut
P(A n,n = 1) =
n−1
k=1
k
θ + k
.
Enfin, la suite (A n,n ) n1 décroît presque sûrement vers 0.
Démonstration. Les premières assertions du théorème découlent directement
de la définition de π n . L’expression de la probabilité P(A n,n = 1) s’obtient en
notant que P(A n,n = 1) = P(ξ 2 = 0, . . . , ξ n = 0) = P(ξ 2 = 0) · · · P(ξ n = 0).
Pour la convergence presque sûre, on remarque d’abord que, puisque θ > 0,
le produit infini
∞
k=1 (1 + θk
−1 ) diverge car la série harmonique diverge, et
par conséquent lim n→∞ P(A n,n = 1) = 0. D’autre part, la suite d’événements
(E n ) n1 définie par E n = {A n,n = 0} est croissante, et donc
P( lim
n→∞
A n,n = 0) = P(∪
∞
n=1 E n ) = lim
n→∞
P(E n ) = 1 − lim
n→∞
P(A n,n = 1) = 1.
En fait, A n,n = 1 {n succès dans un jeu de pile ou face dont la probabilité de gagner change à chaque
lancer, et décroît vers 0 au fil du temps. La décroissance est cependant suffisamment lente pour assurer un succès certain. En effet {T < ∞} = ∪
∞
n=1 E n
et donc P(T < ∞) = 1. Alternativement, on peut utiliser le lemme de BorelCantelli pour les événements indépendants F n = {ξ n = 1} qui vérifient
n1
P(F n = 1) =
n1
θ
θ + n
= ∞
et
lim F n = {
n1
1 {ξn=1} = ∞} ⊂ {T < ∞}.
𚵿
𚵿
14.4 Compléments de combinatoire
Le cardinal de B n est le n-ème nombre de Bell B n (chapitre 4). On a
B n =
n
k=1
n
k
où la notation entre accolades désigne le nombre de Stirling de seconde espèce,
qui compte le nombre de partitions à k blocs de {1, . . . , n}. On dispose de la
formule de récurrence