14.1 Lois d’Ewens
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P(π n+1 = π
| π n = π) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
|b|
θ + n
si π
s’obtient en insérant n + 1
dans le bloc b de π ;
θ
θ + n
si π
s’obtient en ajoutant
le bloc singleton {n + 1} à π ;
0
sinon ;
où |b| désigne le cardinal de b. On a
b∈πn |b| = n où b ∈ π n signifie que b est
un bloc de π n .
Remarque 14.1 (Cas extrêmes). Lorsque θ = 0 on a π n = {{1, . . . , n}} tandis que si θ = ∞ alors π n = {{1}, . . . , {n}}. Les probabilités sont monotones
en θ. Plus θ est grand, plus les clients ont tendance à s’asseoir à une table
vide plutôt que de rejoindre une table occupée.
Remarque 14.2 (Remonter le temps). Sur ce début de trajectoire de (π n ) n1 ,
π 1 =
{{1}}
π 2 =
{{1}, {2}}
π 3 = {{1, 3}, {2}}
π 4 = {{1, 3}, {2}, {4}}
. . .
. . .
,
on remarque immédiatement qu’il est possible de remonter le temps. Par
exemple, à partir de π 4 , on en déduit π 3 en repérant le bloc contenant 4,
puis on en déduit π 2 en repérant le bloc contenant 3, puis π 1 en repérant le
bloc contenant 2. Plus généralement, pour tout n 1 et tout π
∈ Π n+1 , il
existe un unique π ∈ Π n tel que P(π n+1 = π
| π n = π) > 0. L’information
sur π n est intégralement contenue dans π n+1 sans dégradation. Le processus
transporte intégralement son passé.
14.1 Lois d’Ewens
On note |π| le nombre de blocs de la partition π ∈ Π n et |σ| le nombre de
cycles de la permutation σ ∈ S n . Ainsi on a |π n | = |σ n | pour tout n 1.
Théorème 14.3 (Loi d’Ewens sur S n ). Pour tout σ ∈ S n , on a
P(σ n = σ) =
θ
|σ|
θ(θ + 1) · · · (θ + n − 1)
.