13.5 Pour aller plus loin
183
Grâce à l’hypothèse de récurrence
5 ,
p j−1 (β) =
1
2
j−1
l=1
λ l −1
m=1
2(n − j)!j!(j − 1)!
j(j − 1)n!(n − 1)!
π l,m
λ l
m
=
(n − j)!(j − 1)!(j − 2)!
n!(n − 1)!
λ 1 ! · · · λ j−1 !
j−1
l=1
λ l −1
m=1
1
=
(n − j + 1)!(j − 1)!(j − 2)!
n!(n − 1)!
λ 1 ! · · · λ j−1 !
car
j−1
l=1
λ l −1
m=1 1 = λ 1 + · · · + λ j−1 − j + 1 = n − j + 1..
13.5 Pour aller plus loin
En biologie, la phylogénie est l’étude des relations de parenté entre êtres
vivants. La modélisation stochastique en phylogénie est abordée par exemple
dans les livres de Warren Ewens [Ewe04], de Rick Durrett [Dur08], et de
Jean-François Delmas et Benjamin Jourdain [DJ06]. Les aspects statistiques
sont abordés dans le cours de Simon Tavaré [Tav04]. John Kingman étudie
le processus qui porte son nom dans [Kin93]. Son travail a donné lieu a de
nombreux développements, notamment une théorie de la fragmentation et de
la coalescence, en liaison avec les processus de branchement, les processus de
Lévy, et les partitions aléatoires. On pourra consulter les livres de Nathanaël
Berestycki [Ber09] et de Jean Bertoin [Ber06], ainsi que le cours de Saint-Flour
de Jim Pitman [Pit06] et le cours de Sylvie Méléard [Mé13].
5. Le facteur 1/2 au début est dû à la permutation de m et λ l − m. Pour bien le
comprendre, considérer les exemples λ l = 2 et λ l = 3.