Table des matières
xvii
VII.6.10 Comparaison de deux facteurs de transfert . . . . . . . . . . 868
VII.7 Le cas où D F [d V ] est non vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871
VII.7.1 Une proposition de nullité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871
VII.7.2 Premier calcul d’une expression intervenant en 5.9 . . . . . 873
VII.7.3 Mise en place de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
VII.7.4 Une première propriété de nullité . . . . . . . . . . . . . . . 876
VII.7.5 Description de l’ensemble ˙
Y [d V ] . . . . . . . . . . . . . . . 878
VII.7.6 Définition d’un homomorphisme q ∞ . . . . . . . . . . . . . 881
VII.7.7 L’image de l’homomorphisme q ∞ . . . . . . . . . . . . . . . 886
VII.7.8 Un caractère de Q ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
VII.7.9 Preuve de la proposition 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899
VII.7.10 Calcul d’une constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900
VII.7.11 Calcul de |P
0
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900
VII.7.12 Un premier calcul de |P
0
||U|
−1 . . . . . . . . . . . . . . . . 903
VII.7.13 Comparaison de deux mesures de Tamagawa . . . . . . . . 907
VII.7.14 Calcul de d(I , G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
VII.7.15 Preuve de la proposition 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
VII.7.16 Calcul final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
VII.8 Preuve du théorème 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
VII.8.1 Suite du calcul de la section 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
VII.8.2 Elimination de la somme en H . . . . . . . . . . . . . . . . 917
VII.8.3 Elimination des revêtements simplement connexes . . . . . 918
VII.8.4 Fin de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919
VII.9 Preuve du théorème [VI] 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923
VII.9.1 Rappel de l’énoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . 923
VII.9.2 Le lemme fondamental pondéré non standard . . . . . . . . 923
VII.9.3 Extension aux Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925
VII.9.4 Globalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926
VII.9.5 Généralisation du théorème 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 928
VII.9.6 Extension de l’ensemble fini de places . . . . . . . . . . . . 930
VII.9.7 Preuve du théorème 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
VIII L’application ˜
M sur un corps de base local non-archimédien
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933
VIII.1 L’application
c θ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
VIII.1.1 Définition de fonctions combinatoires . . . . . . . . . . . . . 935
VIII.1.2 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
VIII.1.3 L’application
c φ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
VIII.1.4 Propriétés de l’application
c φ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . 941
VIII.1.5 Définition de l’application
c θ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . 945
VIII.1.6 Propriétés de l’application
c θ
˜
G
˜
M
. . . . . . . . . . . . . . . . 947
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VII.6.10 Comparaison de deux facteurs de transfert . . . . . . . . . . 868
VII.7 Le cas où D F [d V ] est non vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871
VII.7.1 Une proposition de nullité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871
VII.7.2 Premier calcul d’une expression intervenant en 5.9 . . . . . 873
VII.7.3 Mise en place de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
VII.7.4 Une première propriété de nullité . . . . . . . . . . . . . . . 876
VII.7.5 Description de l’ensemble ˙
Y [d V ] . . . . . . . . . . . . . . . 878
VII.7.6 Définition d’un homomorphisme q ∞ . . . . . . . . . . . . . 881
VII.7.7 L’image de l’homomorphisme q ∞ . . . . . . . . . . . . . . . 886
VII.7.8 Un caractère de Q ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
VII.7.9 Preuve de la proposition 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899
VII.7.10 Calcul d’une constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900
VII.7.11 Calcul de |P
0
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900
VII.7.12 Un premier calcul de |P
0
||U|
−1 . . . . . . . . . . . . . . . . 903
VII.7.13 Comparaison de deux mesures de Tamagawa . . . . . . . . 907
VII.7.14 Calcul de d(I , G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
VII.7.15 Preuve de la proposition 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
VII.7.16 Calcul final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
VII.8 Preuve du théorème 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
VII.8.1 Suite du calcul de la section 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
VII.8.2 Elimination de la somme en H . . . . . . . . . . . . . . . . 917
VII.8.3 Elimination des revêtements simplement connexes . . . . . 918
VII.8.4 Fin de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919
VII.9 Preuve du théorème [VI] 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923
VII.9.1 Rappel de l’énoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . 923
VII.9.2 Le lemme fondamental pondéré non standard . . . . . . . . 923
VII.9.3 Extension aux Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925
VII.9.4 Globalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926
VII.9.5 Généralisation du théorème 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 928
VII.9.6 Extension de l’ensemble fini de places . . . . . . . . . . . . 930
VII.9.7 Preuve du théorème 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
VIII L’application ˜
M sur un corps de base local non-archimédien
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933
VIII.1 L’application
c θ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
VIII.1.1 Définition de fonctions combinatoires . . . . . . . . . . . . . 935
VIII.1.2 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
VIII.1.3 L’application
c φ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938
VIII.1.4 Propriétés de l’application
c φ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . 941
VIII.1.5 Définition de l’application
c θ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . 945
VIII.1.6 Propriétés de l’application
c θ
˜
G
˜
M
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