Table des matières
xi
IV.1.4 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
IV.1.5 La transition entre le théorème de Renard
et le théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
IV.1.6 Extension au cas ω = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
IV.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
IV.2.1 Quelques considérations formelles . . . . . . . . . . . . . . . 440
IV.2.2 Les espaces I cusp ( ˜
G(R)) et SI cusp ( ˜
G(R)) . . . . . . . . . . . 443
IV.2.3 Un théorème de Paley–Wiener décrivant
l’espace SI( ˜
G(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
IV.2.4 Un résultat d’instabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
IV.2.5 Un lemme sur les fonctions de Paley–Wiener . . . . . . . . 449
IV.2.6 Fonctions f ϕ à support assez régulier . . . . . . . . . . . . . 452
IV.2.7 Utilisation de la propriété : une représentation elliptique
est supertempérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
IV.2.8 L’espace D
st
spec ( ˜
G(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
IV.2.9 L’espace SI( ˜
G(R), K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
IV.3 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
IV.3.1 Définition d’un transfert spectral elliptique . . . . . . . . . 456
IV.3.2 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
IV.3.3 Le transfert spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
IV.3.4 Transfert K-fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
IV.3.5 Transfert K-fini, version générale . . . . . . . . . . . . . . . 464
IV.3.6 Le cas du corps de base C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
V Intégrales orbitales et endoscopie sur le corps réel
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
V.1 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
V.1.1
La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
V.1.2
L’application φ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
V.1.3
Définition des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . 474
V.1.4
Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . 477
V.1.5
Preuve du théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
V.1.6
Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
V.1.7
Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
V.1.8
Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
V.1.9
Une propriété locale des intégrales orbitales ω-équivariantes
endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
V.1.10 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
V.1.11 Réduction au cas des intégrales orbitales régulières . . . . . 489
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IV.1.4 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
IV.1.5 La transition entre le théorème de Renard
et le théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
IV.1.6 Extension au cas ω = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
IV.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
IV.2.1 Quelques considérations formelles . . . . . . . . . . . . . . . 440
IV.2.2 Les espaces I cusp ( ˜
G(R)) et SI cusp ( ˜
G(R)) . . . . . . . . . . . 443
IV.2.3 Un théorème de Paley–Wiener décrivant
l’espace SI( ˜
G(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
IV.2.4 Un résultat d’instabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
IV.2.5 Un lemme sur les fonctions de Paley–Wiener . . . . . . . . 449
IV.2.6 Fonctions f ϕ à support assez régulier . . . . . . . . . . . . . 452
IV.2.7 Utilisation de la propriété : une représentation elliptique
est supertempérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
IV.2.8 L’espace D
st
spec ( ˜
G(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
IV.2.9 L’espace SI( ˜
G(R), K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
IV.3 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
IV.3.1 Définition d’un transfert spectral elliptique . . . . . . . . . 456
IV.3.2 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
IV.3.3 Le transfert spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
IV.3.4 Transfert K-fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
IV.3.5 Transfert K-fini, version générale . . . . . . . . . . . . . . . 464
IV.3.6 Le cas du corps de base C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
V Intégrales orbitales et endoscopie sur le corps réel
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
V.1 Intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
V.1.1
La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
V.1.2
L’application φ ˜
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
V.1.3
Définition des intégrales orbitales pondérées . . . . . . . . . 474
V.1.4
Intégrales orbitales pondérées invariantes stables . . . . . . 477
V.1.5
Preuve du théorème 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
V.1.6
Une formule d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
V.1.7
Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
et endoscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
V.1.8
Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
V.1.9
Une propriété locale des intégrales orbitales ω-équivariantes
endoscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
V.1.10 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
V.1.11 Réduction au cas des intégrales orbitales régulières . . . . . 489