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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
Membrane avec énergie de courbure
Une des applications des méthodes Level Set, et plus généralement des
méthodes de couplage fluide-structure, concerne l’étude de la dynamique
des globules rouges en cisaillement. Pour reproduire le comportement de
ces objets dans l’écoulement sanguin, on peut considérer dans une première
approche que l’énergie associée est purement de type courbure moyenne (ce
qui est le cas pour les membranes phospholipidiques), avec une contrainte
d’inextensibilité de la membrane. Une manière d’aborder ce problème est
d’opérer par pénalisation, en considérant une énergie de changement d’aire
très raide.
Une application classique est de placer une vésicule dans un écoulement en
cisaillement symétrique (il s’agit ici du cisaillement de l’écoulement et non
pas de celui de la surface tel qu’étudié dans la section suivante) et d’étudier
son comportement en fonction du rapport de viscosité des fluides intérieurs
et extérieurs à la membrane. En deçà d’un certain seuil, le comportement
stationnaire est un mouvement de chenille de char (régime dit de "tanktreading") avec un angle fixe dépendant du rapport de viscosités. Au delà
de ce seuil, le mouvement se transforme en une rotation quasi rigide de la
membrane et du fluide intérieur par rapport au fluide extérieur (régime dit
de "tumbling").
Une autre application consiste à calculer les formes d’équilibre en 3D des
vésicules en fonction de leur taux de remplissage, c’est à dire de leur volume
rapporté au volume d’une sphère ayant même aire. Dans cette application,le
pas de temps dans les équations de transport et de Navier-Stokes joue le rôle
d’un incrément d’itération pour un algorithme d’optimisation.
Les figures 3.15 et 3.16 illustrent les résultats obtenus par méthodes Level
Set dans ces différentes situations. Nous renvoyons à [99, 100] pour une
discussion plus détaillée de ces résultats.
De nombreux travaux ont été menés au laboratoire Liphy, utilisant les
méthodes de champ de phase, ou la méthode Level Set, en s’appuyant sur
la bibliothèque FEEL++ [105] (disponible sur https://docs.feelpp.org).
Nous renvoyons à la thèse de Vincent Doyeux [54] et sa bibliographie.
Plus récemment, des méthodes de diffusion-redistanciation pour le déplacement d’interfaces régies par des énergies géométriques ont été mise en oeuvre
dans la thèse d’Arnaud Sengers [122] dans le cadre de FEEL++.
3.6.2 Membrane avec cisaillement
On utilise dans les simulations de cette section les lois élastiques linéaires
suivantes
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
Membrane avec énergie de courbure
Une des applications des méthodes Level Set, et plus généralement des
méthodes de couplage fluide-structure, concerne l’étude de la dynamique
des globules rouges en cisaillement. Pour reproduire le comportement de
ces objets dans l’écoulement sanguin, on peut considérer dans une première
approche que l’énergie associée est purement de type courbure moyenne (ce
qui est le cas pour les membranes phospholipidiques), avec une contrainte
d’inextensibilité de la membrane. Une manière d’aborder ce problème est
d’opérer par pénalisation, en considérant une énergie de changement d’aire
très raide.
Une application classique est de placer une vésicule dans un écoulement en
cisaillement symétrique (il s’agit ici du cisaillement de l’écoulement et non
pas de celui de la surface tel qu’étudié dans la section suivante) et d’étudier
son comportement en fonction du rapport de viscosité des fluides intérieurs
et extérieurs à la membrane. En deçà d’un certain seuil, le comportement
stationnaire est un mouvement de chenille de char (régime dit de "tanktreading") avec un angle fixe dépendant du rapport de viscosités. Au delà
de ce seuil, le mouvement se transforme en une rotation quasi rigide de la
membrane et du fluide intérieur par rapport au fluide extérieur (régime dit
de "tumbling").
Une autre application consiste à calculer les formes d’équilibre en 3D des
vésicules en fonction de leur taux de remplissage, c’est à dire de leur volume
rapporté au volume d’une sphère ayant même aire. Dans cette application,le
pas de temps dans les équations de transport et de Navier-Stokes joue le rôle
d’un incrément d’itération pour un algorithme d’optimisation.
Les figures 3.15 et 3.16 illustrent les résultats obtenus par méthodes Level
Set dans ces différentes situations. Nous renvoyons à [99, 100] pour une
discussion plus détaillée de ces résultats.
De nombreux travaux ont été menés au laboratoire Liphy, utilisant les
méthodes de champ de phase, ou la méthode Level Set, en s’appuyant sur
la bibliothèque FEEL++ [105] (disponible sur https://docs.feelpp.org).
Nous renvoyons à la thèse de Vincent Doyeux [54] et sa bibliographie.
Plus récemment, des méthodes de diffusion-redistanciation pour le déplacement d’interfaces régies par des énergies géométriques ont été mise en oeuvre
dans la thèse d’Arnaud Sengers [122] dans le cadre de FEEL++.
3.6.2 Membrane avec cisaillement
On utilise dans les simulations de cette section les lois élastiques linéaires
suivantes