10.7 Variational Problems of Functionals with Series-Type …
731
δ J =
V
∂ F
∂u
δu +
∂ F
∂ A
m
· δ A +
∂ F
∂ B
n
· δ B +
∂ F
∂u AB
m + n
· δu AB +
∂ F
∂∇u AB
m + n + 1
·
δ∇u AB
+
∂ F
∂∇ · u AB
m + n − 1
·
δ∇ · u AB +
∂ F
∂∇ × u AB
m + n
· δ∇ × u AB
dV
(2)
Let C =
∂ F
∂u AB
, D =
∂ F
∂∇u AB
, E =
∂ F
∂∇·u AB
, F =
∂ F
∂∇×u AB
, for the latter four
variations of Eq. (2), there are
C m + n
· δu AB = C m + n
· ABδu + u B n
· C m
· δ A + uC m
· A n
· δ B
(3)
D m + n + 1
·
∇δu AB = ∇ · (δu AB m + n
· D) − D · ∇ m + n
· δu AB
= ∇ · (δu AB m + n
· D) − D · ∇ m + n
· ( ABδu + uδ AB + u Aδ B)
= ∇ · (δu AB m + n
· D) − D · ∇ m + n
· ABδu − u B n
· D · ∇ m
· δ A
− u D · ∇ m
· A n
· δ B
(4)
E m + n − 1
·
∇ · δu AB = ∇ · (δu AB m + n − 1
·
E) − E∇ m + n
· ( ABδu + uδ AB + u Aδ B)
= ∇ · (δu AB m + n − 1
·
E) − E∇ m + n
· ABδu − u B n
· E∇ m
· δ A
− u E∇ m
· A n
· δ B
(5)
F m + n
· ∇ × δu AB = ∇ ·
δu AB
×
(m + n − 1)· F
+ F × ∇ m + n
· ( ABδu + uδ AB + u Aδ B)
= ∇ ·
δu AB
×
(m + n − 1)· F
+ F × ∇ m + n
· ABδu + u B n
· F × ∇ m
· δ A + u F
× ∇ m
· A n
· δ B
(6)
Substituting Eqs. (3)–(6) into Eq. (2), we obtain
δ J =
V
∂ F
∂u
+ (C − D · ∇ − E∇ + F × ∇) m + n
· AB
δu
+
∂ F
∂ A
+ B n
· (C − D · ∇ − E∇ + F × ∇)
m
· δ A
+
∂ F
∂ B
+ u(C − D · ∇ − E∇ + F × ∇) m
· A
n
· δ B
dV
+
V
∇ · (δu AB m + n
· D) + ∇ · (δu AB m + n − 1
·
E) + ∇ ·
δu AB
×
(m + n − 1)· F
dV
(7)
The Euler equations of the functional are