10.6 Variational Problems of Functionals with Parallel-Type Inner …
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Let C =
∂ F
∂u A m
×
B
, D =
∂ F
∂∇u A m
×
B
, E =
∂ F
∂∇·u A m
×
B
, F =
∂ F
∂∇×u A m
×
B
, for the latter
four variations of Eq. (2), there are
C n
· δu A m
× B = C n
· A m
× Bδu + u B m×
(n − m)· C m
· δ A + (−1)
m u A m
× C n
· δ B (3)
D n + 1
· ∇δu A m
× B = ∇ · ( D n
· δu A m
× B) − ∇ · D n
· δu A m
× B
= ∇ · ( D n
· δu A m
× B) − ∇ · D n
· ( A m
× Bδu + uδ A m
× B + u A m
× δ B)
= ∇ · ( D n
· δu A m
× B) − ∇ · D n
· A m
× Bδu − u B m×
(n − m)· ∇ · D m
· δ A
− (−1) m u A m
× ∇ · D n
· δ B
(4)
E n − 1
· ∇ · δu A m
× B = ∇ · (δu A m
× B n − 1
· E) − ∇ E n
· ( A m
× Bδu + uδ A m
× B + u A m
× δ B)
= ∇ · (δu A m
× B n − 1
· E) − ∇ E n
· A m
× Bδu − u B m×
(n − m)· ∇ E m
· δ A
− (−1) m u A m
× ∇ E n
· δ B
(5)
F n
· ∇ × δu A m
× B = −∇ · [F [−1.5ex]×
(n − 1)· δu A m
× B] + ∇ × F n
· ( A m
× Bδu + uδ A m
× B + u A m
× δ B)
= −∇ · [F ×
(n − 1)· δu A m
× B] + ∇ × F n
· A m
× Bδu
+ u B m×
(n − m)· ∇ × F m
· δ A + (−1) m u A m
× ∇ × F n
· δ B
(6)
Substituting Eqs. (3)–(6) into Eq. (2), we obtain
δ J =
V
∂ F
∂u
+ (C − ∇ · D − ∇ E + ∇ × F) n
· A m
× B
δu
+
∂ F
∂ A
+ u B m×
(n − m)· (C − ∇ · D − ∇ E + ∇ × F)
m
· δ A
+
∂ F
∂ B
+ (−1) m u A m
× (C − ∇ · D − ∇ E + ∇ × F)
n
· δ B
dV
+
V
∇ · ( D n
· δu A m
× B) + ∇ · (δu A m
× B n − 1
· E) − ∇ ·
F ×
(n − 1)· δu A m
× B
dV (7)
The Euler equations of the functional are
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ F
∂u +
⎛
⎜
⎝
∂ F
∂u A m
×
B
− ∇ ·
∂ F
∂∇u A m
×
B
− ∇
∂ F
∂∇·u A m
×
B
+ ∇ ×
∂ F
∂∇×u A m
×
B
⎞
⎟
⎠ n
· A m
× B = 0
∂ F
∂ A + u B m×
(n − m)·
⎛
⎜
⎝
∂ F
∂u A m
×
B
− ∇ ·
∂ F
∂∇u A m
×
B
− ∇
∂ F
∂∇·u A m
×
B
+ ∇ ×
∂ F
∂∇×u A m
×
B
⎞
⎟
⎠ = 0
∂ F
∂ B + (−1) m u A m
×
⎛
⎜
⎝
∂ F
∂u A m
×
B
− ∇ ·
∂ F
∂∇u A m
×
B
− ∇
∂ F
∂∇·u A m
×
B
+ ∇ ×
∂ F
∂∇×u A m
×
B
⎞
⎟
⎠ = 0
(8)