10.6 Variational Problems of Functionals with Parallel-Type Inner …
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+
V
∇ · (B n
· δu A) + ∇ · (δu A n − 1
· C) − ∇ ·
D ×
(n − 1)· δu A
dV
(6)
The Euler equations of the functional are
∂ F
∂u
− A n
·
∇ ·
∂ F
∂∇u A
+ ∇
∂ F
∂∇·u A
− ∇ ×
∂ F
∂∇×u A
= 0
∂ F
∂ A
− u
∇ ·
∂ F
∂∇u A
+ ∇
∂ F
∂∇·u A
− ∇ ×
∂ F
∂∇×u A
= 0
(7)
The natural boundary conditions are
n ·
∂ F
∂∇u A
S
= 0,
∂ F
∂∇ · u A
S
= 0, n ×
∂ F
∂∇ × u A
S
= 0
(8)
Example 10.6.18 Let A be a tensor of order m, B is a tensor of order n, derive the
Euler equations and natural boundary conditions of the functional
J =
V
F(u, A, B, u AB, ∇u AB, ∇ · u AB, ∇ × u AB)dV
(1)
Solution Taking the variation to the functional, we get
δ J =
V
∂ F
∂u
δu +
∂ F
∂ A
m
· δ A +
∂ F
∂ B
n
· δ B +
∂ F
∂u AB
m + n
· δu AB +
∂ F
∂∇u AB
m + n + 1
·
δ∇u AB
+
∂ F
∂∇ · u AB
m + n + 1
·
δ∇ · u AB +
∂ F
∂∇ × u AB
m + n
· δ∇ × u AB
dV
(2)
Let C =
∂ F
∂u AB
, D =
∂ F
∂∇u AB
, E =
∂ F
∂∇·u AB
, F =
∂ F
∂∇×u AB
, for the latter four
variations of Eq. (2), there are
C m + n
· δu AB = C m + n
· ABδu + uC n
· B m
· δ A + u A m
· C n
· δ B
(3)
D m + n + 1
·
∇δu AB = ∇ · ( D m + n
· δu AB) − ∇ · D m + n
· δu AB
= ∇ · ( D m + n
· δu AB) − ∇ · D m + n
· ( ABδu + uδ AB + u Aδ B)
= ∇ · ( D m + n
· δu AB) − ∇ · D m + n
· ABδu − u(∇ · D n
· B) m
· δ A − u A m
· ∇ · D n
· δ B
(4)
E m + n + 1
·
∇ · δu AB = ∇ · (δu AB m + n + 1
·
E) − ∇ E m + n
· ( ABδu + uδ AB + u Aδ B)
= ∇ · (δu AB m + n + 1
·
E) − ∇ E m + n
· ABδu − u(∇ E n
· B) m
· δ A
− u A m
· ∇ E n
· δ B
(5)
F m + n
· ∇ × δu AB = −∇ ·
F
×
(m + n − 1)· δu AB
+ ∇ × F m + n
· ( ABδu
+ uδ AB + u Aδ B)