Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Brief History of Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Comparison Between Static and Dynamic Analysis . . . . . . . . . .
4
1.4
D’alembert’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5
Some Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5.1
Vibration and Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.2
Free Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.3
Forced Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.4
Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.5
Degrees of Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
Dynamic Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.7
Finite Element Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8
Response of the System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9
Types of Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10 Linear and Nonlinear Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Free Vibration of Single Degree of Freedom System . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2
Equation of Motion of Single Degree of Freedom (Sdf)
System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3
Free Undamped Vibration of the Sdf System . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4
Free Damped Vibration of Sdf System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5
Free Vibration with Coulomb Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6
Energy Method and Free Torsional Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.1
Torsional Vibration of the SDF System . . . . . . . . . . . . 38
2.6.2
Rayleigh’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7
Logarithmic Decrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
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1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2
Brief History of Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3
Comparison Between Static and Dynamic Analysis . . . . . . . . . .
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1.4
D’alembert’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Some Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.1
Vibration and Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.2
Free Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.3
Forced Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.4
Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.5
Degrees of Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.6
Dynamic Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.7
Finite Element Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8
Response of the System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9
Types of Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10 Linear and Nonlinear Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Free Vibration of Single Degree of Freedom System . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2
Equation of Motion of Single Degree of Freedom (Sdf)
System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3
Free Undamped Vibration of the Sdf System . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4
Free Damped Vibration of Sdf System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5
Free Vibration with Coulomb Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6
Energy Method and Free Torsional Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.1
Torsional Vibration of the SDF System . . . . . . . . . . . . 38
2.6.2
Rayleigh’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7
Logarithmic Decrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
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