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4 Chaˆ ınes de Markov en auto-interaction
S n (f ) =
1
n + 1
n
k=0
f (X k )
n↑∞
−→ μ(f ) en probabilit´ e .
La convergence en probabilit´ e exprime le fait que pour tout δ > 0, nous
avons
lim
n↑∞
P(|S n (f ) − μ(f )| > δ) = 0
Autrement dit, la probabilit´ e d’avoir un ´ ecart de l’ordre de δ tend vers 0,
lorsque la dur´ ee de l’´ evolution tend vers l’infini.
Pour d´ emontrer un tel r´ esultat, on utilise g´ en´ eralement l’in´ egalit´ e de Markov pr´ esent´ ee en (5.1). En utilisant cette majoration, nous avons pour tout
δ > 0
P(|S n (f ) − μ(f )| > δ) ≤
1
δ 2 E
[S n (f ) − μ(f )]
2
Il reste alors `
a montrer que le terme de droite converge vers 0, lorsque l’horizon
temporel n tend vers l’infini. Cet ´ ecart entre S n (f ) et la mesure limite μ est
li´ e `
a deux termes d’erreurs orthogonaux. Le premier concerne la proximit´ e de
la variable S n (f ) avec sa moyenne
S n (f ) = E(S n (f )) ,
le second porte sur l’´ ecart entre cette moyenne S n (f ) et la quantit´ e limite
d´ esir´ ee μ(f ). Ce dernier terme d’erreur est totalement d´ eterministe. Il est souvent appel´ e le biais de l’approximation de μ(f ) par les estimateurs empiriques
moyens S n (f ). Plus formellement, nous avons la d´ ecomposition suivante
E
[S n (f ) − μ(f )]
2
= E
[ S n (f ) − E(S n (f )) + E(S n (f )) − μ(f ) ]
2
= E
[S n (f ) − E(S n (f ))]
2
+ E(S n (f )) − μ(f )]
2 .
En utilisant les estimations d’erreurs d´ ecrites dans les sections pr´ ec´ edentes,
nous avons
E
[S n (f ) − μ(f )]
2
= E
[S n (f ) − S n (f )]
2
+ α(n)
2 [η 0 (f ) − μ(f )]
2
E
[S n (f ) − S n (f )]
2
+ cte.
1
n 2(1−)
La section suivante concerne la convergence vers 0 du premier terme d’erreur
E
[S n (f ) − S n (f )]
2
−→ 0
lorsque le param` etre temporel n tend vers l’infini. Nous montrerons trois vitesses de convergence distinctes li´ ees aux diff´ erents degr´ es de renforcement de
l’individu.