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14 Mod` eles de poursuite et localisation
W n , W
n sont des r´ ealisations de variables al´ eatoires ind´ ependantes gaussiennes
et centr´ ees et norm´ ees. Les param` etres σ n et σ
n sont choisis en fonction des
fluctuations physiques des vitesses longitudinales et des angles de braquage
´ etudi´ es.
Afin d’estimer sa position exacte, le v´ ehicule observe un certain nombre
de balises de navigation (B i ) i∈I pr´ esentes dans la terrain `
a des positions
(P
(i,1) , P
(i,2) ) i∈I du plan de r´ ef´ erence.
Supposons que le v´ ehicule soit ´ equip´ e de capteurs de mesures lui permettant de calculer sa distance et son angle d’orientation par rapport ` a chacune
de ces balises. Les ´ equations d’observation correspondantes sont donn´ ees par
la formule suivante
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Y
(i,1)
n
=
X
(1)
n − P (i,1)
2
+
X
(2)
n − P (i,2)
2
+ σ
(i,1)
n
V
(i,1)
n
Y
(i,2)
n
=
arctan
X
(2)
n −P
(i,2)
X
(1)
n −P (i,1)
− X
(4)
n
+ σ
(i,2)
n
V
(i,2)
n
,
i∈ I
avec la fonction arctan
(.) d´ efinie en (14.1). Le probl` eme du filtrage consiste
` a calculer les lois conditionnelles du vecteur X n sachant les mesures d’angles
et de positions fournies par toutes les balises.
Une illustration graphique de ces mod` eles de filtrage de v´ ehicule est donn´ ee
dans la figure 14.4.
14.5 Navigation et localisation de robots
Un robot mobile se d´ eplace dans un environnement avec obstacles. Les
obstacles peuvent ˆ etre de nature vari´ ee : murs, meubles, escaliers, arbres, etc.
Plusieurs mod` eles d’´ evolution plus ou moins simplifi´ es peuvent ˆ etre utilis´ es. Par exemple, le mod` ele cin´ etique d’Ackermann d´ ecrit dans la section
pr´ ec´ edente est d’un usage assez courant pour mod´ eliser des v´ ehicules ´ evoluant
dans le plan E = R
2 . On peut aussi consid´ erer une marche al´ eatoire dans le
r´ eseau E = δZ
2 . Dans ce contexte, les d´ eplacements du robot X n−1 X n
correspondent simplement aux d´ eplacements vers la droite ou vers la gauche,
ou encore vers le haut ou vers le bas d’une marche al´ eatoire simple. Si on note
e 1 =
δ
0
e 2 =
−δ
0
e 3 =
0
δ
e 4 =
0
−δ
les quatre vecteurs de d´ eplacement ´ el´ ementaires, les transitions du robot sont
donn´ ees par l’´ equation :
X n = X n−1 + e n
Dans la formule pr´ ec´ edente, n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees de mˆ eme loi :
14 Mod` eles de poursuite et localisation
W n , W
n sont des r´ ealisations de variables al´ eatoires ind´ ependantes gaussiennes
et centr´ ees et norm´ ees. Les param` etres σ n et σ
n sont choisis en fonction des
fluctuations physiques des vitesses longitudinales et des angles de braquage
´ etudi´ es.
Afin d’estimer sa position exacte, le v´ ehicule observe un certain nombre
de balises de navigation (B i ) i∈I pr´ esentes dans la terrain `
a des positions
(P
(i,1) , P
(i,2) ) i∈I du plan de r´ ef´ erence.
Supposons que le v´ ehicule soit ´ equip´ e de capteurs de mesures lui permettant de calculer sa distance et son angle d’orientation par rapport ` a chacune
de ces balises. Les ´ equations d’observation correspondantes sont donn´ ees par
la formule suivante
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Y
(i,1)
n
=
X
(1)
n − P (i,1)
2
+
X
(2)
n − P (i,2)
2
+ σ
(i,1)
n
V
(i,1)
n
Y
(i,2)
n
=
arctan
X
(2)
n −P
(i,2)
X
(1)
n −P (i,1)
− X
(4)
n
+ σ
(i,2)
n
V
(i,2)
n
,
i∈ I
avec la fonction arctan
(.) d´ efinie en (14.1). Le probl` eme du filtrage consiste
` a calculer les lois conditionnelles du vecteur X n sachant les mesures d’angles
et de positions fournies par toutes les balises.
Une illustration graphique de ces mod` eles de filtrage de v´ ehicule est donn´ ee
dans la figure 14.4.
14.5 Navigation et localisation de robots
Un robot mobile se d´ eplace dans un environnement avec obstacles. Les
obstacles peuvent ˆ etre de nature vari´ ee : murs, meubles, escaliers, arbres, etc.
Plusieurs mod` eles d’´ evolution plus ou moins simplifi´ es peuvent ˆ etre utilis´ es. Par exemple, le mod` ele cin´ etique d’Ackermann d´ ecrit dans la section
pr´ ec´ edente est d’un usage assez courant pour mod´ eliser des v´ ehicules ´ evoluant
dans le plan E = R
2 . On peut aussi consid´ erer une marche al´ eatoire dans le
r´ eseau E = δZ
2 . Dans ce contexte, les d´ eplacements du robot X n−1 X n
correspondent simplement aux d´ eplacements vers la droite ou vers la gauche,
ou encore vers le haut ou vers le bas d’une marche al´ eatoire simple. Si on note
e 1 =
δ
0
e 2 =
−δ
0
e 3 =
0
δ
e 4 =
0
−δ
les quatre vecteurs de d´ eplacement ´ el´ ementaires, les transitions du robot sont
donn´ ees par l’´ equation :
X n = X n−1 + e n
Dans la formule pr´ ec´ edente, n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires
ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees de mˆ eme loi :