11.4 Analyse des performances
333
γ
N
n (1) =
n−1
k=0
η
N
k (g k ) =
n−1
k=0
Card
1 ≤ i ≤ N : ξ
i
k ∈ A k+1
N
↓ N ↑∞
γ n (1) =
n−1
k=0
η k (g k ) =
n−1
k=0
Card (A k+1 )
Card (A k )
=
Card (A n )
Card (A 0 )
Dans le cas particulier des fonctions potentiel exponentielles
g k (x) = exp {− (β k − β k−1 ) 1 E−A (x)}
nous avons la convergence presque sure suivante :
γ
N
n (1) =
n−1
k=0
η
N
k (g k ) =
n−1
k=0
1
N
N
i=1
exp
− (β k − β k−1 ) 1 E−A (ξ
i
n )
↓ N ↑∞
γ n (1) =
n−1
k=0
η k (g k ) =
n−1
k=0
μ
e
−β k+1 1 E−A
μ (e −β k 1 E−A )
=
μ
e
−βn1 E−A
μ (e −β01 E−A )
Toutes les convergences d´ ecrites plus haut peuvent se d´ ecliner selon divers
degr´ es de pr´ ecision. Par exemple, sous certaines hypoth` eses de r´ egularit´ e, il est
d´ emontr´ e dans [27] que les variances non asymptotiques de ces estimateurs
v´ erifient les in´ egalit´ es suivantes
sup
N ≥1
sup
n≥1
N
n
E
γ
N
n (1)
γ n (1)
− 1
2
< ∞
Pour plus de d´ etails sur ces convergences, nous renvoyons le lecteur aux
pr´ ec´ edentes sections, section 8.3 et section 8.3.4 d´ edi´ ees respectivement aux
m´ ethodes de simulation particulaires de mesures de Feynman-Kac et ` a l’estimation de leurs constantes de normalisation. En termes de variables al´ eatoires
simul´ ees, nous pouvons nous interroger sur leur degr´ e d’ind´ ependance et
l’ad´ equation de leurs lois. Ce type de r´ esultats est connu sous le nom de
“propagations du chaos” dans la litt´ erature sur les syst` emes de particules en
interaction. Dans ce contexte, il est possible de d´ emontrer que l’on a
∀1 ≤ q ≤ N
Loi
ξ
1
n , . . . , ξ
q
n
Loi
X
1
n , . . . , X
q
n
o` u
X
i
n
1≤i≤N
d´ esignent une suite form´ ee de variables al´ eatoires ind´ ependantes
et identiquement distribu´ ees de loi η n sur A n . De plus, les ´ ecarts entre des
int´ egrales de fonctions born´ ees par rapport ` a ces mesures sont d’ordre
q
N
ou
q
2
N . Pour plus de d´ etails sur ces convergences, nous renvoyons le lecteur ` a
l’ouvrage [36].
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