11.2 Interpr´ etations de Feynman-Kac-Jarzynski
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γ k (dx) = G k (x) μ(x) et γ k (1) := μ(G k ) =
Card(A k )
Card(E)
Il est important de noter que
(G k = g k−1 × G k−1 avec g k−1 := 1 A k ) =⇒ η k = Ψ g k−1 (η k−1 )
Ainsi, si on consid` ere des transitions markoviennes M k (x, dy) de mesure invariante η k = η k M k , on montre alors que η k satisfait l’´ equation suivante
η k = η k M k = Ψ g k−1 (η k−1 )M k
(11.4)
Il en d´ ecoule que la solution de cette ´ equation est donn´ ee par la mesure de
Feynman-Kac d´ efinie pour toute fonction test born´ ee f par la formule suivante
η k (f ) = γ k (f )/γ k (1) avec γ k (f ) = E
f (X k )
k−1
l=0
g l (X l )
(11.5)
On notera enfin la formule multiplicative
γ k (1) =
Card (A k )
2 n
=
k−1
l=0
Card (A l+1 )
Card (A l )
=
k−1
l=0
η l (g l )
Comme nous l’avons pr´ ecis´ e plus haut, une autre strat´ egie consiste `
a
consid´ erer des formules de Boltzmann-Gibbs associ´ ees `
a des potentiels exponentiels (11.2). Par analogie avec les techniques d’ensembles d´ ecroissants
d´ ecrites en (11.3), on pourra choisir ici les flots de mesures
η k (dx) =
1
γ k (1)
γ k (dx)
avec
γ k (dx) = G k (x) μ(x) et G k (x) = e
β k 1 A (x)
et des param` etres de temp´ erature inverse β k ↑ ∞. Dans ce contexte, les interpr´ etations trajectorielles de Feynman-Kac-Jarzynski (11.4) et (11.5) sont
d´ eduites de la propri´ et´ e suivante :
G k = g k−1 × G k−1 avec g k−1 := e
(β k −β k−1 )1 A (x)
=⇒ η k = Ψ g k−1 (η k−1 )
Nous terminerons cette section avec un exemple de transitions M k de point
fixe η k
M k (x, dy) : = M (x, dy)
1 ∧
d(η k × M ) 1
d(η k × M ) 0
(x, y)
+
1 −
M (x, dz)
1 ∧
d(η k × M ) 1
d(η k × M ) 0
(x, z)
δ x (dy)
avec les mesures