7.5 Espaces de permutations
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Plus formellement, pour tout couple (σ, τ ) il existe une suite finie (σ i ) i=0,...,n ,
avec n ≤ N , telle que
σ = σ 0 → σ 0 ∼ σ 1 → σ 1 ∼ σ 2 → . . . → σ n−1 ∼ σ n → σ n = τ
Illustrons cette propri´ et´ e d’accessibilit´ e par un exemple dans G 6 . Les deux
permutations d´ efinies ci-dessous
σ =
1 2 3 4 5 6
2 5 4 1 6 3
et τ =
1 2 3 4 5 6
6 4 1 3 5 2
peuvent ˆ etre reli´ ees ` a travers la formule suivante
τ = σθ (1,2) θ (2,6) θ (4,2) θ (2,3) θ (5,1)
Autrement dit, nous avons
σ → σ 1 = σθ (1,2) → σ 2 = σ 1 θ (2,6) → σ 3 = σ 2 θ (4,2) → σ 4 = σ 3 θ (2,3) → τ = σ 4 θ (5,1)
Pour v´ erifier sch´ ematiquement cette propri´ et´ e en examinant les compositions
suivantes :
1
2
3 4 5 6
↓ θ (5,1)
5
2
3 4 1 6
↓ θ (2,3)
5 3 2 4 1 6
↓ θ (4,2)
5 3 4 2 1 6
↓ θ (2,6)
5 3 4 6 1 2
↓ θ (1,2)
5 3 4 6 2 1
↓ σ
6
4
1 3 5 2
Pour explorer al´ eatoirement l’espace G N , il suffit donc d’´ evoluer pas ` a
pas, en choisissant au hasard l’un de ses plus proches voisins. Chaque transition locale peut ˆ etre d´ efinie en choisissant al´ eatoirement un couple d’indices
al´ eatoires U = (I, J) dans l’ensemble
U = {(i, j) ∈ {1, . . . , N}
2 : i ≤ j}
Si l’on se trouve sur un ´ etat σ, on effectue ensuite la transition σ σθ U .
L’´ evolution al´ eatoire d’un individu virtuel dans l’espace G N , et issu d’un site
σ 0 est donn´ ee par la dynamique al´ eatoire suivante
σ n = σ n−1 θ Un
o` u U n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, et uniform´ ement
choisies dans l’ensemble U .