Table des mati` eres XXIII
12.3.6 Filtres et pr´ edicteurs optimaux int´ egr´ es . . . . . . . . . . . . . . 378
12.3.7 S´ erie de filtres optimaux en interaction . . . . . . . . . . . . . . . 382
12.4 Filtres de Kalman d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
12.4.1 Une description champ moyen du filtre de Kalman . . . . . 383
12.4.2 Un filtre de Kalman particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
13 Analyse bay´ esienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
13.2 Chaˆ ınes de Markov cach´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
13.2.1 Descriptions bay´ esiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
13.2.2 Algorithmes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov . . . 392
13.2.3 Un algorithme de Monte Carlo s´ equentiel . . . . . . . . . . . . . 392
13.2.4 Algorithmes de Monte Carlo s´ equentiels et particulaires 393
13.3 Calcul bay´ esien approch´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.3.1 Mod` eles stochastiques approch´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.3.2 Repr´ esentation des lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 395
13.4 Algorithme de gradient stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
13.4.1 Gradient de fonctions de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . 397
13.4.2 Algorithmes de gradient stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . 399
13.5 Algorithme esp´ erance-maximisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
13.5.1 Formules d’entropie relative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
13.5.2 Algorithme EM particulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
13.6 Illustration des algorithmes de gradient et EM . . . . . . . . . . . . . . 404
13.6.1 Description du mod` ele stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
13.6.2 Calcul des log-vraisemblances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
13.6.3 Formules de d´ erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
13.6.4 Algorithme de gradient stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
13.6.5 Algorithme esp´ erance-maximisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
14 Mod` eles de poursuite et localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.1 Poursuite de cible et signaux radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.2 Localisation et signaux radar altim´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.3 Localisation de cibles avec obstacles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
14.4 Le mod` ele cin´ etique d’Ackermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.5 Navigation et localisation de robots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
14.6 Poursuite de t´ el´ ephones mobiles en zone urbaine . . . . . . . . . . . . . 418
14.7 Estimation de volatilit´ e boursi` ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.8 Travaux pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
15 Analyse de risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
15.2 Echantillonnage pr´ ef´ erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
15.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
15.2.2 Mod` eles markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
15.2.3 Principes de grandes d´ eviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
12.3.6 Filtres et pr´ edicteurs optimaux int´ egr´ es . . . . . . . . . . . . . . 378
12.3.7 S´ erie de filtres optimaux en interaction . . . . . . . . . . . . . . . 382
12.4 Filtres de Kalman d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
12.4.1 Une description champ moyen du filtre de Kalman . . . . . 383
12.4.2 Un filtre de Kalman particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
13 Analyse bay´ esienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
13.2 Chaˆ ınes de Markov cach´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
13.2.1 Descriptions bay´ esiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
13.2.2 Algorithmes de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov . . . 392
13.2.3 Un algorithme de Monte Carlo s´ equentiel . . . . . . . . . . . . . 392
13.2.4 Algorithmes de Monte Carlo s´ equentiels et particulaires 393
13.3 Calcul bay´ esien approch´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.3.1 Mod` eles stochastiques approch´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.3.2 Repr´ esentation des lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 395
13.4 Algorithme de gradient stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
13.4.1 Gradient de fonctions de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . 397
13.4.2 Algorithmes de gradient stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . 399
13.5 Algorithme esp´ erance-maximisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
13.5.1 Formules d’entropie relative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
13.5.2 Algorithme EM particulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
13.6 Illustration des algorithmes de gradient et EM . . . . . . . . . . . . . . 404
13.6.1 Description du mod` ele stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
13.6.2 Calcul des log-vraisemblances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
13.6.3 Formules de d´ erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
13.6.4 Algorithme de gradient stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
13.6.5 Algorithme esp´ erance-maximisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
14 Mod` eles de poursuite et localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.1 Poursuite de cible et signaux radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.2 Localisation et signaux radar altim´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.3 Localisation de cibles avec obstacles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
14.4 Le mod` ele cin´ etique d’Ackermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.5 Navigation et localisation de robots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
14.6 Poursuite de t´ el´ ephones mobiles en zone urbaine . . . . . . . . . . . . . 418
14.7 Estimation de volatilit´ e boursi` ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.8 Travaux pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
15 Analyse de risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
15.2 Echantillonnage pr´ ef´ erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
15.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
15.2.2 Mod` eles markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
15.2.3 Principes de grandes d´ eviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436