Table des mati` eres
XXI
8.3.4 Estimation des fonctions de partition . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.4 Variantes et propri´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.4.1 Les mod` eles d’ˆ ılots particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.4.2 Simulation de lois mises `
a jours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.4.3 Mesures de sensibilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.5 Formules de Feynman-Kac non commutatives . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.5.1 Mesures vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.5.2 Interpr´ etations particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.5.3 Processus stochastiques tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.5.4 Gradient de semigroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.6 Trois illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.6.1 Chaˆ ınes de Markov restreintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.6.2 Polym` eres dirig´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.6.3 Le mod` ele d’Edwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9 M´ ethodes MCMC en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1 M´ ethodes et mod` eles MCMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1.1 Le principe des lois invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1.2 Les transitions de type d’acceptation-rejet . . . . . . . . . . . . 264
9.1.3 Les transitions de Metropolis-Hastings . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.1.4 Les transitions de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.2 Algorithmes en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.2.1 Mod` eles de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.2.2 Interpr´ etations particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.3 Mesures de Boltzmann-Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.3.1 Queues de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.3.2 Formules de Feynman-Kac-Jarzynski . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.4 Int´ egration de mod` eles de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.4.1 Familles param´ etriques de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.4.2 M´ ethodes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.4.3 Interpr´ etations particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Partie III Quelques domaines d’applications
10 Mod` eles de fractal dans la nature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.2 R´ epartitions uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
10.3 Le discontinuum de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.3.1 Convergence ` a l’´ equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.3.2 Description de la marche al´ eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.3.3 La distribution invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.4 Les contractions affines du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.4.2 Contractions ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
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8.3.4 Estimation des fonctions de partition . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.4 Variantes et propri´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.4.1 Les mod` eles d’ˆ ılots particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.4.2 Simulation de lois mises `
a jours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.4.3 Mesures de sensibilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.5 Formules de Feynman-Kac non commutatives . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.5.1 Mesures vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.5.2 Interpr´ etations particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.5.3 Processus stochastiques tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.5.4 Gradient de semigroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.6 Trois illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.6.1 Chaˆ ınes de Markov restreintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.6.2 Polym` eres dirig´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.6.3 Le mod` ele d’Edwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9 M´ ethodes MCMC en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1 M´ ethodes et mod` eles MCMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1.1 Le principe des lois invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1.2 Les transitions de type d’acceptation-rejet . . . . . . . . . . . . 264
9.1.3 Les transitions de Metropolis-Hastings . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.1.4 Les transitions de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.2 Algorithmes en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.2.1 Mod` eles de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.2.2 Interpr´ etations particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.3 Mesures de Boltzmann-Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.3.1 Queues de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.3.2 Formules de Feynman-Kac-Jarzynski . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.4 Int´ egration de mod` eles de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.4.1 Familles param´ etriques de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.4.2 M´ ethodes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.4.3 Interpr´ etations particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Partie III Quelques domaines d’applications
10 Mod` eles de fractal dans la nature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.2 R´ epartitions uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
10.3 Le discontinuum de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.3.1 Convergence ` a l’´ equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.3.2 Description de la marche al´ eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.3.3 La distribution invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.4 Les contractions affines du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.4.2 Contractions ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302