6.1 ´
El´ ements d’analyse asymptotique
153
des transformations (S i ) i∈I index´ ees par un ensemble fini I. Lorsque ces explorations locales sont suffisamment r´ eguli` eres, on s’attend `
a ce que la chaˆ ıne
oublie son point de d´ epart, et se concentre sur certaines r´ egions attractives.
On supposera que pour chaque indice i ∈ I, la fonction S i : E → E est
globalement lipschitzienne, i.e. qu’il existe une suite de nombres non n´ egatifs
(k(i)) i∈I tels que
∀i ∈ I, ∀x, y ∈ E,
d(S i (x), S i (y)) ≤ k(i) d(x, y).
(6.1)
On consid` ere enfin sur I, une distribution de probabilit´ e (p(i)) i∈I .
On construit r´ ecursivement une chaˆ ıne de Markov X = (X n ) n≥0 sur E en
faisant ´ evoluer chaque ´ etat
X n−1 X n = S i (X n−1 )
selon une transformation S i choisie au hasard avec la probabilit´ e p(i).
Autrement dit, on commence par initialiser la chaˆ ıne en simulant une variable al´ eatoire X 0 selon une distribution initiale choisie η 0 . A chaque ´ etape
n ≥ 1 on simule tout d’abord une variable al´ eatoire n suivant la loi p. Autrement dit on choisit un indice i dans I avec la probabilit´ e p(i), et on pose
n = i. Puis on passe de l’´ etat X n−1 ` a l’´ etat X n en posant
X n = S n (X n−1 )
Les fonctions it´ er´ ees stochastiques sont donc d´ efinies r´ ecursivement par les
´ equations suivantes :
X n = S n (X n−1 ) = S n ◦ S n−1 ◦ . . . S 1 (X 0 )
o` u n d´ esigne une suite de variables ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees sur I de loi p.
Les probabilit´ es de transitions de cette chaˆ ıne sont donn´ ees par
M (x, dy) =
i∈I
p(i) δ Si(x) (dy).
On notera par la suite (X
x
n ) n≥0 la chaˆ ıne de Markov initialis´ ee en X
x
0 = x.
D’apr` es les propri´ et´ es lipschitziennes (6.1) des transformations (S i ) i∈I , les
transformations al´ eatoires x ∈ E → X
x
n ∈ E sont continues. En effet, si on
note
α(k) =
i∈I
p(i) k(i) = E( 1 )
la valeur moyenne des constantes de Lipschitz (k(i)) i∈I alors on v´ erifie sans
peine que
∀(x, y) ∈ E
2 , ∀n ≥ 0,
E(d(X
x
n , X
y
n )) ≤ α
n (k) d(x, y).
El´ ements d’analyse asymptotique
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des transformations (S i ) i∈I index´ ees par un ensemble fini I. Lorsque ces explorations locales sont suffisamment r´ eguli` eres, on s’attend `
a ce que la chaˆ ıne
oublie son point de d´ epart, et se concentre sur certaines r´ egions attractives.
On supposera que pour chaque indice i ∈ I, la fonction S i : E → E est
globalement lipschitzienne, i.e. qu’il existe une suite de nombres non n´ egatifs
(k(i)) i∈I tels que
∀i ∈ I, ∀x, y ∈ E,
d(S i (x), S i (y)) ≤ k(i) d(x, y).
(6.1)
On consid` ere enfin sur I, une distribution de probabilit´ e (p(i)) i∈I .
On construit r´ ecursivement une chaˆ ıne de Markov X = (X n ) n≥0 sur E en
faisant ´ evoluer chaque ´ etat
X n−1 X n = S i (X n−1 )
selon une transformation S i choisie au hasard avec la probabilit´ e p(i).
Autrement dit, on commence par initialiser la chaˆ ıne en simulant une variable al´ eatoire X 0 selon une distribution initiale choisie η 0 . A chaque ´ etape
n ≥ 1 on simule tout d’abord une variable al´ eatoire n suivant la loi p. Autrement dit on choisit un indice i dans I avec la probabilit´ e p(i), et on pose
n = i. Puis on passe de l’´ etat X n−1 ` a l’´ etat X n en posant
X n = S n (X n−1 )
Les fonctions it´ er´ ees stochastiques sont donc d´ efinies r´ ecursivement par les
´ equations suivantes :
X n = S n (X n−1 ) = S n ◦ S n−1 ◦ . . . S 1 (X 0 )
o` u n d´ esigne une suite de variables ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees sur I de loi p.
Les probabilit´ es de transitions de cette chaˆ ıne sont donn´ ees par
M (x, dy) =
i∈I
p(i) δ Si(x) (dy).
On notera par la suite (X
x
n ) n≥0 la chaˆ ıne de Markov initialis´ ee en X
x
0 = x.
D’apr` es les propri´ et´ es lipschitziennes (6.1) des transformations (S i ) i∈I , les
transformations al´ eatoires x ∈ E → X
x
n ∈ E sont continues. En effet, si on
note
α(k) =
i∈I
p(i) k(i) = E( 1 )
la valeur moyenne des constantes de Lipschitz (k(i)) i∈I alors on v´ erifie sans
peine que
∀(x, y) ∈ E
2 , ∀n ≥ 0,
E(d(X
x
n , X
y
n )) ≤ α
n (k) d(x, y).