6.1 ´
El´ ements d’analyse asymptotique
151
Les convergences ´ etant entendues au sens faible, lorsque n ↑ ∞. Autrement
dit, pour toute fonction born´ ee f sur E (et avec une probabilit´ e 1), nous avons
lim
n→∞
E(f (X n )) =
E
f (x) η(dx) = lim
n→∞
1
n
n
p=1
f (X p )
La premi` ere question venant ` a l’esprit concerne la mesure η. Quelle est
cette mesure myst´ erieuse ? Cette mesure η d´ epend clairement de la fa¸ con
dont la chaˆ ıne ´ evolue dans E. Rappelons que cette ´ evolution est dict´ ee par la
donn´ ee des probabilit´ es de transition
M (x, dy) = P(X n ∈ dy | X n−1 = x) .
Les lois des ´ etats η n = Loi(X n ) sont alors donn´ ees par le syst` eme dynamique
d´ eterministe
η n = η n−1 M
(⇒ η n = η 0 M
n )
Cette simple remarque permet de lever le voile sur la nature de la mesure η.
Plus pr´ ecisement, nous avons pour toute fonction born´ ee f sur E
lim
n→∞
E(f (X n )) = lim
n→∞
η n (f ) = η(f )
⇓
η n (f ) = η n−1 (M (f )) −→ n→∞ η(f ) = η(M (f ))
La mesure limite η est donc tout simplement un point fixe de l’op´ erateur
int´ egral M
η = ηM
Une cons´ equence imm´ ediate de cette propri´ et´ e de point fixe est la suivante
η 0 = Loi(X 0 ) = η
et ηM = η
=⇒ ∀n ≥ 0 η n = Loi(X n ) = η
Autrement dit, si la chaˆ ıne est initialis´ ee par une v.a. X 0 de loi η, alors tous
les ´ etats al´ eatoires suivants auront la mˆ eme loi η. Dans cette situation, on dit
que la chaˆ ıne est dans un r´ egime stationnaire.
Il est important de souligner que bien que ces v.a. X n ont, dans un r´ egime
stationnaire, la mˆ eme loi, elles ne sont pas ind´ ependantes ! Pour garantir une
certaine ind´ ependance entre ces ´ etats, la chaˆ ıne de Markov doit en un certain
sens oublier sa condition initiale
M
n (x 1 , dy) = P(X n ∈ dy | X 0 = x 1 )
n>>1
P(X n ∈ dy | X 0 = x 2 ) = M
n (x 2 , dy)
pour tout x 1 , x 2 ∈ E. Dans cette situation, on s’attend tout d’abord ` a ce que
la chaˆ ıne entre assez rapidement dans le r´ egime stationnaire
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