1. FONCTIONS LOCALEMENT LIPSCHITZ
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Considérons à présent
θ(x) := max
f (x) − f ( ¯
x), g i (x), i = 1, . . . , p
.
Les données au départ, f, g 1 , . . . , g p , étant déjà non différentiables, cette
"prise de max" (une construction hautement non différentiable) n’ajoute pas
de complexité à notre affaire.
Alors :
• Pour x ∈ V ∩ S, θ(x) ≥ θ( ¯
x) = 0 [en raison de (6.27)] ;
• Pour x ∈ V , x /
∈ S, il existe i ∈ {1, . . . , p} tel que g i (x) > 0, d’où
θ(x) ≥ 0.
En somme,
θ(x) ≥ θ( ¯
x) = 0 pour tout x ∈ V.
Se rappelant alors les résultats (iii) et (iv) des Règles de calcul 6.12, on a
0 ∈ ∂g( ¯
x) ⊂ co
∂ f ( ¯
x), ∂g i ( ¯
x), i ∈ I ( ¯
x)
,
d’où l’existence de coefficients de combinaisons convexes,
¯
μ 0 ≥ 0, ¯
μ i ≥ 0 pour tout i ∈ I ( ¯
x), ¯
μ 0 +
i∈I ( ¯
x)
¯
μ i = 1,
tels que
0 ∈ ¯
μ 0 ∂ f ( ¯
x) +
i∈I ( ¯
x)
¯
μ i ∂g i ( ¯
x).
Le Théorème 6.13 est ainsi démontré.
Supposons maintenant (QC) ¯
x et raisonnons par l’absurde : ¯
μ 0 = 0 dans
la relation (6.25). On a alors :
¯
μ i ≥ 0, i ∈ I ( ¯
x), non tous nuls et 0 ∈
i∈I ( ¯
x)
¯
μ i ∂g i ( ¯
x).
Cela induit
i∈I ( ¯
x)
¯
μ i g
◦
i ( ¯
x ; d) ≥
⎛
⎝
i∈I ( ¯
x)
¯
μ i g i
⎞
⎠
◦
( ¯
x ; d) ≥ 0 pour tout d ∈ E.
En choisissant la direction d apparaissant dans (QC) ¯
x et se souvenant que
les ¯
μ i , i ∈ I ( ¯
x), sont ≥ 0 et ne sont pas tous nuls, on arrive à une contradiction. Donc ¯
μ 0 ne peut être nul. Le Théorème 6.14 est démontré.