50 clés pour comprendre les maths
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Existe-t-il une combinaison possible de Solido et de Liquex qui puisse satisfaire son
entraîneur et en même temps lui coûter le moins cher possible ? Ce qu’elle aimerait
faire, c’est rentrer chez elle, prendre un papier et un crayon, et étudier le problème.
Problèmes de programmation linéaire On a toujours appris à Tanya à
visualiser ses objectifs. Si elle est capable d’appliquer cette technique pour gagner
une médaille d’or aux Jeux Olympiques, pourquoi ne pourrait-elle pas faire pareil
en mathématiques ? Elle trace alors un schéma de la région réalisable. C’est possible
parce qu’elle ne prend en compte que deux aliments. La droite (AD) représente les
combinaisons de Solido et de Liquex qui contiennent exactement 120 mg de vitamines. Les combinaisons au-dessus de cette droite contiennent plus de 120 mg de
vitamines. La droite (EC) représente les combinaisons qui contiennent exactement
880 mg de minéraux. Les combinaisons d’aliments qui se trouvent au-dessus de ces
deux droites correspondent à la région réalisable et représentent toutes les combinaisons réalisables que Tanya peut acheter.
Les problèmes de ce type sont appelés des problèmes de programmation linéaire. Le
terme « programmation » signifie qu’il y a une procédure (aujourd’hui, il est devenu
synonyme de programme informatique) tandis que « linéaire » fait référence à l’utilisation de droites. Pour résoudre le problème de Tanya avec la programmation
linéaire, les mathématiciens ont montré qu’il suffit de calculer à combien s’élèvera
la note de Tanya aux points situés aux sommets du polygone des contraintes. Tanya
a découvert une autre solution réalisable au point B de coordonnées (48, 8) : elle
pourrait acheter 48 boîtes de Solido et 8 briques de Liquex. Dans ce cas, elle respecterait parfaitement son régime parce que cette combinaison contient 120 mg de
vitamines et 880 mg de minéraux. Au prix de 5 € la boîte et la brique, cette combinaison lui reviendrait à 280 €. L’achat
optimal reste donc ce qu’il était auparavant, c’est-à-dire qu’elle ne devrait
pas acheter de Solido mais acheter 40
briques de Liquex pour un coût total
de 200 €, même si elle a ainsi 1 120 mg
de minéraux en trop par rapport aux
880 mg dont elle a besoin.
La combinaison optimale dépend en
définitive du prix des produits. Si le
prix des boîtes de Solido passait à 2 € et
celui de Liquex à 7 €, alors les combinaisons des points A (0, 40), B (48,8) et
C (88, 0) coûteraient respectivement 280 €, 152 €, et 176 €.
La meilleure solution pour Tanya dans ce dernier cas est d’acheter 48 boîtes de
Solido et 8 briques de Liquex, pour un coût total de 152 €.
Histoire En 1947, le mathématicien américain George Dantzig, qui travaillait
alors pour l’armée de l’air américaine, mit au point une méthode appelée « méthode
Liquex
A
E
O
B
D
C
88,0
48,8
0,40
Région réalisable
des combinaisons
de Solido et de Liquex
Solido
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Existe-t-il une combinaison possible de Solido et de Liquex qui puisse satisfaire son
entraîneur et en même temps lui coûter le moins cher possible ? Ce qu’elle aimerait
faire, c’est rentrer chez elle, prendre un papier et un crayon, et étudier le problème.
Problèmes de programmation linéaire On a toujours appris à Tanya à
visualiser ses objectifs. Si elle est capable d’appliquer cette technique pour gagner
une médaille d’or aux Jeux Olympiques, pourquoi ne pourrait-elle pas faire pareil
en mathématiques ? Elle trace alors un schéma de la région réalisable. C’est possible
parce qu’elle ne prend en compte que deux aliments. La droite (AD) représente les
combinaisons de Solido et de Liquex qui contiennent exactement 120 mg de vitamines. Les combinaisons au-dessus de cette droite contiennent plus de 120 mg de
vitamines. La droite (EC) représente les combinaisons qui contiennent exactement
880 mg de minéraux. Les combinaisons d’aliments qui se trouvent au-dessus de ces
deux droites correspondent à la région réalisable et représentent toutes les combinaisons réalisables que Tanya peut acheter.
Les problèmes de ce type sont appelés des problèmes de programmation linéaire. Le
terme « programmation » signifie qu’il y a une procédure (aujourd’hui, il est devenu
synonyme de programme informatique) tandis que « linéaire » fait référence à l’utilisation de droites. Pour résoudre le problème de Tanya avec la programmation
linéaire, les mathématiciens ont montré qu’il suffit de calculer à combien s’élèvera
la note de Tanya aux points situés aux sommets du polygone des contraintes. Tanya
a découvert une autre solution réalisable au point B de coordonnées (48, 8) : elle
pourrait acheter 48 boîtes de Solido et 8 briques de Liquex. Dans ce cas, elle respecterait parfaitement son régime parce que cette combinaison contient 120 mg de
vitamines et 880 mg de minéraux. Au prix de 5 € la boîte et la brique, cette combinaison lui reviendrait à 280 €. L’achat
optimal reste donc ce qu’il était auparavant, c’est-à-dire qu’elle ne devrait
pas acheter de Solido mais acheter 40
briques de Liquex pour un coût total
de 200 €, même si elle a ainsi 1 120 mg
de minéraux en trop par rapport aux
880 mg dont elle a besoin.
La combinaison optimale dépend en
définitive du prix des produits. Si le
prix des boîtes de Solido passait à 2 € et
celui de Liquex à 7 €, alors les combinaisons des points A (0, 40), B (48,8) et
C (88, 0) coûteraient respectivement 280 €, 152 €, et 176 €.
La meilleure solution pour Tanya dans ce dernier cas est d’acheter 48 boîtes de
Solido et 8 briques de Liquex, pour un coût total de 152 €.
Histoire En 1947, le mathématicien américain George Dantzig, qui travaillait
alors pour l’armée de l’air américaine, mit au point une méthode appelée « méthode
Liquex
A
E
O
B
D
C
88,0
48,8
0,40
Région réalisable
des combinaisons
de Solido et de Liquex
Solido