50 clés pour comprendre les maths
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premières factorielles (par convention, on définit 0! = 1). On se rend immédiatement
compte que de « petites » configurations génèrent de « grandes » factorielles. Peu
importe si le nombre n est petit, n! peut être énorme.
Si l’on cherche toujours à former des files d’attente de 5 personnes,
mais que nous pouvons à présent les prendre dans un ensemble de
8 personnes A, B, C, D, E, F, G et H, l’analyse est pratiquement la
même. Il y a 8 choix pour la première personne de la file, 7 pour la
seconde, et ainsi de suite. Mais cette fois, il existe 4 choix possibles
pour occuper la dernière place. Le nombre de files possibles est égal à
8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6 720.
On peut écrire ce résultat avec des factorielles parce que
8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 ×
3 × 2 × 1
3 × 2 × 1
=
8!
3!
Les combinaisons Dans une file, l’ordre est important.
Les deux files
C E B A D
D A C E B
contiennent les mêmes lettres mais constituent des files différentes. On sait déjà
que l’on peut former 5! files à partir de ces lettres. Si l’on veut trouver le nombre de
façons différentes de sélectionner 5 personnes parmi 8 sans tenir compte de l’ordre,
il faut diviser 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6 720 par 5!. Le nombre de façons de sélectionner
5 personnes parmi 8 est donc égal à
8 × 7 × 6 × 5 × 4
5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 56.
Ce nombre s’écrit (
8
5 ) (ou C
8
5 ), qui est égal à
(
8
5 )
=
8!
3! 5!
= 56.
Au loto, il faut choisir 6 nombres parmi 49 possibles ; combien y a-t-il donc de
possibilités ?
(
49
6 )
=
49!
43! 6!
=
49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 13 983 816.
Une seule combinaison est gagnante. Il y a donc environ 1 chance sur 14 millions
de gagner le gros lot.
Le problème de Kirkman L’analyse combinatoire est un vaste domaine connu
depuis des siècles, mais qui ne s’est développé que ces 40 dernières années grâce à
l’informatique. On peut considérer que les problèmes de théorie des graphes, des carrés
latins et des autres du même genre font partie de l’analyse combinatoire moderne.
nombre
factorielle
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5 040
8
40 320
9
362 880
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premières factorielles (par convention, on définit 0! = 1). On se rend immédiatement
compte que de « petites » configurations génèrent de « grandes » factorielles. Peu
importe si le nombre n est petit, n! peut être énorme.
Si l’on cherche toujours à former des files d’attente de 5 personnes,
mais que nous pouvons à présent les prendre dans un ensemble de
8 personnes A, B, C, D, E, F, G et H, l’analyse est pratiquement la
même. Il y a 8 choix pour la première personne de la file, 7 pour la
seconde, et ainsi de suite. Mais cette fois, il existe 4 choix possibles
pour occuper la dernière place. Le nombre de files possibles est égal à
8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6 720.
On peut écrire ce résultat avec des factorielles parce que
8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 ×
3 × 2 × 1
3 × 2 × 1
=
8!
3!
Les combinaisons Dans une file, l’ordre est important.
Les deux files
C E B A D
D A C E B
contiennent les mêmes lettres mais constituent des files différentes. On sait déjà
que l’on peut former 5! files à partir de ces lettres. Si l’on veut trouver le nombre de
façons différentes de sélectionner 5 personnes parmi 8 sans tenir compte de l’ordre,
il faut diviser 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6 720 par 5!. Le nombre de façons de sélectionner
5 personnes parmi 8 est donc égal à
8 × 7 × 6 × 5 × 4
5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 56.
Ce nombre s’écrit (
8
5 ) (ou C
8
5 ), qui est égal à
(
8
5 )
=
8!
3! 5!
= 56.
Au loto, il faut choisir 6 nombres parmi 49 possibles ; combien y a-t-il donc de
possibilités ?
(
49
6 )
=
49!
43! 6!
=
49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 13 983 816.
Une seule combinaison est gagnante. Il y a donc environ 1 chance sur 14 millions
de gagner le gros lot.
Le problème de Kirkman L’analyse combinatoire est un vaste domaine connu
depuis des siècles, mais qui ne s’est développé que ces 40 dernières années grâce à
l’informatique. On peut considérer que les problèmes de théorie des graphes, des carrés
latins et des autres du même genre font partie de l’analyse combinatoire moderne.
nombre
factorielle
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5 040
8
40 320
9
362 880