x 3 ¼ x, u 3 ¼ u, S 33 ¼ S, T 33 ¼ T,
E 3 ¼ E, D 3 ¼ D, J
p
3 ¼ J
p , J
n
3 ¼ J
n ,
c 33 ¼ c, e 33 ¼ e, ε 33 ¼ ε,
μ
p
33 ¼ μ
p , D
p
33 ¼ D
p , μ
n
33 ¼ μ
n , D
n
33 ¼ D
n
:
ð3:80Þ
From Eqs. (3.5), (3.2), (3.4), and (3.6)
∂T
∂x
¼ ρ€ u,
∂D
∂x
¼ q p À n þ N
þ
D À N
À
A
À
Á
,
ð3:81Þ
∂J
p
∂x
¼ Àq
∂p
∂t
,
∂J
n
∂x
¼ q
∂n
∂t
,
ð3:82Þ
T ¼ cS À eE,
D ¼ eS þ εE,
ð3:83Þ
J
p
¼ qpμ
p E À qD
p ∂p
∂x
,
J
n
¼ qnμ
n E þ qD
n ∂n
∂x
,
ð3:84Þ
S ¼
∂u
∂x
, E ¼ À
∂φ
∂x
:
ð3:85Þ
Consider the case of an n-doped rod with p ffi 0 and N
À
A ffi 0. For static extension, all
fields are functions of x only. From Eqs. (3.83) and (3.85) we obtain
T ¼ c
du
dx
þ e
dφ
dx
,
D ¼ e
du
dx
À ε
dφ
dx
:
ð3:86Þ
The substitution of Eq. (3.86) into the static form of Eq. (3.81) gives
x
2L
c
F
F
ZnO
Fig. 3.9 A ZnO rod in
extension
3.7 Electrically Nonlinear Extension by End Forces
49