C 4 þ
1
k
2
eq
εc
C 2
ffiffiffiffiffi
2
πk
r
¼ 0:
ð2:57Þ
Then
u r, θ
ð Þ ¼ C 3
ffiffi
r
p þ C 4
1
ffiffi
r
p 1 À e
Àkr
À
Á
!
sin
θ
2
:
ð2:58Þ
Similarly, from Eq. (2.45) we have
∂
2
∂r 2 þ
∂
r∂r
À
1
4r 2
φ ¼ À
q
ε
C 2 K 1=2 k r
ð Þ:
ð2:59Þ
The relevant solution is
φ ¼ C 5
ffiffi
r
p þ C 6
1
ffiffi
r
p 1 À e
Àkr
À
Á
!
sin
θ
2
,
ð2:60Þ
where C 6 is related to C 2 by
C 6 À
1
k
2
q
ε
C 2
ffiffiffiffiffi
2
πk
r
¼ 0,
ð2:61Þ
and C 5 is an undetermined constant. The strain, electric field, stress, and electric
displacement components are
2S rz ¼
1
2
ffiffi
r
p C 3 À C 4
1
r
1 À e
Àkr
À
Á þ 2C 4 ke
Àkr
h
i
sin
θ
2
,
2S θz ¼
1
2
ffiffi
r
p C 3 þ C 4
1
r
1 À e
Àkr
À
Á
h
i
cos
θ
2
,
ð2:62Þ
E r ¼ À
1
2
ffiffi
r
p C 5 À C 6
1
r
1 À e
Àkr
À
Á þ 2C 6 ke
Àkr
h
i
sin
θ
2
,
E θ ¼ À
1
2
ffiffi
r
p C 5 þ C 6
1
r
1 À e
Àkr
À
Á
h
i
cos
θ
2
,
ð2:63Þ
T rz ¼
1
2
ffiffi
r
p cC 3 þ eC 5 À cC 4 þ eC 6
ð
Þ
1
r
1 À e
Àkr
À
Á þ 2 cC 4 þ eC 6
ð
Þ ke
Àkr
h
i
sin
θ
2
,
T θz ¼
1
2
ffiffi
r
p cC 3 þ eC 5 þ cC 4 þ eC 6
ð
Þ
1
r
1 À e
Àkr
À
Á
h
i
cos
θ
2
,
ð2:64Þ
26
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