S kl ¼ S
0
ð Þ
kl þ α 3 S
1
ð Þ
kl , E k ¼ E
0
ð Þ
k þ α 3 E
1
ð Þ
k ,
ð5:119Þ
P k ¼ P
0
ð Þ
k þ α 3 P
1
ð Þ
k , N k ¼ N
0
ð Þ
k þ α 3 N
1
ð Þ
k ,
ð5:120Þ
where
S
0
ð Þ
11 ¼
1
A 1
∂u
0
ð Þ
1
∂α 1
þ
u
0
ð Þ
2
A 2
∂A 1
∂α 2
þ
A 1 u
0
ð Þ
3
R 1
"
#
,
S
0
ð Þ
22 ¼
1
A 2
∂u
0
ð Þ
2
∂α 2
þ
u
0
ð Þ
1
A 1
∂A 2
∂α 1
þ
A 2 u
0
ð Þ
3
R 2
"
#
, S
0
ð Þ
33 ¼ u
1
ð Þ
3 ,
ð5:121Þ
2S
0
ð Þ
23 ¼ u
1
ð Þ
2 À
u
0
ð Þ
2
R 2
þ
1
A 2
∂u
0
ð Þ
3
∂α 2
,
2S
0
ð Þ
31 ¼ u
1
ð Þ
1 À
u
0
ð Þ
1
R 1
þ
1
A 1
∂u
0
ð Þ
3
∂α 1
,
2S
0
ð Þ
12 ¼
A 1
A 2
∂
∂α 2
u
0
ð Þ
1
A 1
" #
þ
A 2
A 1
∂
∂α 1
u
0
ð Þ
2
A 2
" #
,
ð5:122Þ
S
1
ð Þ
11 ¼
1
A 1
∂u
1
ð Þ
1
∂α 1
þ
u
1
ð Þ
2
A 2
∂A 1
∂α 2
þ
A 1 u
1
ð Þ
3
R 1
"
#
,
S
1
ð Þ
22 ¼
1
A 2
∂u
1
ð Þ
2
∂α 2
þ
u
1
ð Þ
1
A 1
∂A 2
∂α 1
þ
A 2 u
1
ð Þ
3
R 2
"
#
,
S
1
ð Þ
33 ¼ 2u
2
ð Þ
3 ,
ð5:123Þ
2S
1
ð Þ
23 ¼ 2u
2
ð Þ
2 þ
1
A 2
∂u
1
ð Þ
3
∂α 2
À
u
1
ð Þ
2
R 2
,
2S
1
ð Þ
31 ¼ 2u
2
ð Þ
1 þ
1
A 1
∂u
1
ð Þ
3
∂α 1
À
u
1
ð Þ
1
R 1
,
2S
1
ð Þ
12 ¼
A 1
A 2
∂
∂α 2
u
1
ð Þ
1
A 1
" #
þ
A 2
A 1
∂
∂α 1
u
1
ð Þ
2
A 2
" #
,
ð5:124Þ
E
0
ð Þ
1 ¼ À
1
A 1
∂φ
0
ð Þ
∂α 1
, E
0
ð Þ
2 ¼ À
1
A 2
∂φ
0
ð Þ
∂α 2
, E
0
ð Þ
3 ¼ Àφ
1
ð Þ ,
E
1
ð Þ
1 ¼ À
1
A 1
∂φ
1
ð Þ
∂α 1
, E
1
ð Þ
2 ¼ À
1
A 2
∂φ
1
ð Þ
∂α 2
, E
1
ð Þ
3 ¼ À2φ
2
ð Þ
ffi 0,
ð5:125Þ
5.11 Equations for Shells
135