E
1
ð Þ
1 ¼ Àφ
1
ð Þ
,1 , E
1
ð Þ
2 ¼ Àφ
1
ð Þ
,2 , E
1
ð Þ
3 ¼ À2φ
2
ð Þ ,
ð5:28Þ
P
0
ð Þ
1 ¼ p
0
ð Þ
,1 , P
0
ð Þ
2 ¼ p
0
ð Þ
,2 , P
0
ð Þ
3 ¼ p
1
ð Þ ,
ð5:29Þ
P
1
ð Þ
1 ¼ p
1
ð Þ
,1 , P
1
ð Þ
2 ¼ p
1
ð Þ
,2 , P
1
ð Þ
3 ¼ 2p
2
ð Þ ,
ð5:30Þ
N
0
ð Þ
1 ¼ n
0
ð Þ
,1 , N
0
ð Þ
2 ¼ n
0
ð Þ
,2 , N
0
ð Þ
3 ¼ n
1
ð Þ ,
ð5:31Þ
N
1
ð Þ
1 ¼ n
1
ð Þ
,1 , N
1
ð Þ
2 ¼ n
1
ð Þ
,2 , N
1
ð Þ
3 ¼ 2n
2
ð Þ
:
ð5:32Þ
The zero- and first-order equations of motion, the charge equation of electrostatics,
and the continuity equations for holes and electrons are
T
0
ð Þ
aj,a þ t
0
ð Þ
j ¼ 2hρ€ u
0
ð Þ
j ,
T
1
ð Þ
aj,a À T
0
ð Þ
3j þ t
1
ð Þ
j ¼
2h
3
ρ
3
€ u
1
ð Þ
j ,
ð5:33Þ
D
0
ð Þ
a,a þ d
0
ð Þ
¼ 2hq p
0
ð Þ
À n
0
ð Þ
,
D
1
ð Þ
a,a À D
0
ð Þ
3 þ d
1
ð Þ
¼
2h
3
3
q p
1
ð Þ
À n
1
ð Þ
,
ð5:34Þ
J
p 0
ð Þ
a,a þ j
p 0
ð Þ
¼ À2hq _
p
0
ð Þ ,
J
p 1
ð Þ
a,a À J
p 0
ð Þ
3
þ j
p 1
ð Þ
¼ À
2h
3
3
q _
p
1
ð Þ ,
ð5:35Þ
J
n 0
ð Þ
a,a þ j
n 0
ð Þ
¼ 2hq _
n
0
ð Þ ,
J
n 1
ð Þ
a,a À J
n 0
ð Þ
3
þ j
n 1
ð Þ
¼
2h
3
3
q _
n
1
ð Þ ,
ð5:36Þ
where B
(0,0) ¼ 2 h and B
(1,1) ¼ 2 h
3 /3 have been used. The plate constitutive relations
are
T
0
ð Þ
ij ¼ 2h c ijkl S
0
ð Þ
kl À e kij E
0
ð Þ
k
,
D
0
ð Þ
i ¼ 2h e ijk S
0
ð Þ
jk þ ε ij E
0
ð Þ
j
,
ð5:37Þ
J
p 0
ð Þ
i
¼ 2h μ
p
ij E
0
ð Þ
j À D
p
ij P
0
ð Þ
j
,
J
n 0
ð Þ
i
¼ 2h μ
n
ij E
0
ð Þ
j þ D
n
ij N
0
ð Þ
j
,
ð5:38Þ
118
5 Extension and Bending of Plates