Q ,3 ¼ ρA€ v,
ð4:57Þ
D
1
ð Þ
3,3 À D
0
ð Þ
2 ¼ qI Àn
1
ð Þ
,
J
n 1
ð Þ
3,3 À J
n 0
ð Þ
2
¼ qI _
n
1
ð Þ ,
ð4:58Þ
M ¼ Àc 33 Iv ,33 þ e 33 Iϕ
1
ð Þ
,3 ,
ð4:59Þ
Q ¼ M ,3 ¼ Àc 33 Iv ,333 þ e 33 Iϕ
1
ð Þ
,33 ,
ð4:60Þ
D
0
ð Þ
2 ¼ Àε 11 Aϕ
1
ð Þ ,
D
1
ð Þ
3 ¼ Àe 33 Iv ,33 À ε 33 Iϕ
1
ð Þ
,3 ,
ð4:61Þ
J
n 0
ð Þ
2
¼ Àqn 0 μ
n
11 Aϕ
1
ð Þ
þ qD
n
11 An
1
ð Þ ,
J
n 1
ð Þ
3
¼ Àqn 0 μ
n
33 Iϕ
1
ð Þ
,3 þ qD
n
33 In
1
ð Þ
,3 :
ð4:62Þ
Substituting Eqs. (4.60), (4.61), and (4.62) into Eqs. (4.57) and (4.58), we obtain the
following equations for v, ϕ
(1) , and n
(1) :
Àc 33 Iv ,3333 þ e 33 Iϕ
1
ð Þ
,333 ¼ ρA€ v,
ð4:63Þ
Àe 33 Iv ,333 À ε 33 Iϕ
1
ð Þ
,33 þ ε 11 Aϕ
1
ð Þ
¼ qI Àn
1
ð Þ
,
ð4:64Þ
Àn 0 μ
n
33 Iϕ
1
ð Þ
,33 þ D
n
33 In
1
ð Þ
,33 þ n 0 μ
n
11 Aϕ
1
ð Þ
À D
n
11 An
1
ð Þ
¼ I _
n
1
ð Þ
:
ð4:65Þ
We need to solve Eqs. (4.63), (4.64), and (4.65) with the following boundary and
initial conditions:
v ¼ 0, v ,3 ¼ 0, D
1
ð Þ
3 ¼ 0, J
n 1
ð Þ
3
¼ 0, x 3 ¼ 0,
M ¼ 0, Q ¼ f y , D
1
ð Þ
3 ¼ 0, J
n 1
ð Þ
3
¼ 0, x 3 ¼ L,
ð4:66Þ
v ¼ 0, _
v ¼ 0, ϕ
1
ð Þ
¼ 0, n
1
ð Þ
¼ 0, t ¼ 0:
ð4:67Þ
x1, x
x2, y
L
a
c
x3, z
fy
Fixed
end
Shear force
Fig. 4.8 A ZnO beam
under a suddenly applied
shear force
4.5 Transient Bending
103