Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Part I Physics Preliminaries
2 Relativistic Point Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1 BV Action for the Point Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2 Scattering Matrix and Minimal Model .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Summary, Comments, and Remarks Towards Part II.. . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 String Theory.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Closed Strings .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Decomposition of the Moduli Space . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Measure, Vertices, and BV Action . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Algebraic Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Coalgebra Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7 Uniqueness and Background Independence . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.8 Summary, Comments, and Remarks Towards Part II.. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Open and Closed Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 World-Sheets with Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Open String .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Summary, Comments, and Remarks Towards Part II.. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Open-Closed BV Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1 Open-Closed BV Action .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Quantum Open-Closed Homotopy Algebra . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Summary, Comment, and Remarks Towards Part II.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Part II Mathematical Interpretation
6 Operads .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1 Cyclic Operads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Non-Σ Cyclic Operads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3 Operad Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
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1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Part I Physics Preliminaries
2 Relativistic Point Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1 BV Action for the Point Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2 Scattering Matrix and Minimal Model .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Summary, Comments, and Remarks Towards Part II.. . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 String Theory.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Closed Strings .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Decomposition of the Moduli Space . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Measure, Vertices, and BV Action . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Algebraic Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Coalgebra Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7 Uniqueness and Background Independence . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.8 Summary, Comments, and Remarks Towards Part II.. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Open and Closed Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 World-Sheets with Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Open String .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Summary, Comments, and Remarks Towards Part II.. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Open-Closed BV Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1 Open-Closed BV Action .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Quantum Open-Closed Homotopy Algebra . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Summary, Comment, and Remarks Towards Part II.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Part II Mathematical Interpretation
6 Operads .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1 Cyclic Operads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Non-Σ Cyclic Operads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3 Operad Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
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