7.7 AQCCs
209
Proof Let
H =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
w 0
w 1
· · ·
w n−1
w 0 ζ 0
w 1 ζ 1 · · · w n−1 ζ n−1
w 0 ζ
2
0
w 1 ζ
2
1
· · · w n−1 ζ
2
n−1
. . .
. . .
. . .
. . .
w 0 ζ
n−k−1
0
w 1 ζ
n−k−1
1
· · · w n−1 ζ
n−k−1
n−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
be a parity check matrix of an GRS k (ζ, v) code. We split H to form polynomial
matrices G 1 (D) and G 2 (D) of codes V 1 and V 2 , respectively, as follows:
G 1 (D) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
w 0 ζ
n−k−3
0
w 1 ζ
n−k−3
1
· · · w n−1 ζ
n−k−3
n−1
w 0
w 1
· · ·
w n−1
w 0 ζ 0
w 1 ζ 1 · · · w n−1 ζ n−1
. . .
. . .
. . .
. . .
w 0 ζ
t−1
0
w 1 ζ
t−1
1
· · · w n−1 ζ
t−1
n−1
−
−
−
−
w 0 ζ
t+1
0
w 1 ζ
t+1
1
· · · w n−1 ζ
t+1
n−1
. . .
. . .
. . .
. . .
w 0 ζ
n−k−2
0
w 1 ζ
n−k−2
1
· · · w n−1 ζ
n−k−1
n−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
w 0 ζ
n−k−1
0
w 1 ζ
n−k−1
1
· · · w n−1 ζ
n−k−1
n−1
w 0 ζ
t
0
w 1 ζ
t
1
· · · w n−1 ζ
t
n−1
0
0
0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
0
−
−
−
−
0
0
0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
D
and
G 2 (D) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
w 0
w 1 · · · w n−1
w 0 ζ 0 w 1 ζ 1 · · · w n−1 ζ n−1
w 0 ζ
2
0
w 1 ζ
2
1 · · · w n−1 ζ
2
n−1
. . .
. . .
. . .
. . .
w 0 ζ
t−1
0
w 1 ζ
t−1
1
· · · w n−1 ζ
t−1
n−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+