7.7 AQCCs
205
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 α
(a−i)
α
2(a−i)
· · · α
(n−1)(a−i)
1 α
(a−t)
α
2(a−t)
· · · α
(n−1)(a−t)
0 0
0
0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0
0
0
0
− −
− −
−
0 0
0
0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
D.
Assume that V 2 is the convolutional code generated by
G 2 (D) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
α
a
· · ·
· · ·
α
(n−1)a
1 α
(a−1)
· · ·
· · · α
(n−1)(a−1)
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1 α
[a−(t−1)]
α
2[a−(t−1)]
· · · α
(n−1)[a−(t−1)]
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
+
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1 α
(a−t)
α
2(a−t)
· · · α
(n−1)(a−t)
0 0
0
0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
D.
It is easy to see that the code V 1 has parameters
(n, 2i − 2, 4; 1, [d 1 ] f ≥ n − 2i − 1) q
and V
⊥
1 has parameters
(n, n − 2i + 2, 4; μ
⊥
1 , [d 1 ]
⊥
f ) q .
The code V 2 is an
(n, 2t, 2; 1, [d 2 ] f ) q
convolutional code; so the dual code V
⊥
2 has parameters
(n, n − 2t, 2; μ
⊥
2 , [d 2 ]
⊥
f ≥ 2t + 3) q .
Since V 2 ⊂ V 1 , it follows that V
⊥
1 ⊂ V
⊥
2 . Hence, there exists an
[(n, 2i − 2t − 2, μ
∗
; 6, [d z ] f /[d x ] f )] q
AQCC, where (d z ) f ≥ n − 2i − 1 and (d x ) f ≥ 2t + 3. This completes the proof.