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Frises et mosa¨ ıques
Ce chapitre pr´ esente la classification des frises et quelques concepts reli´ es aux mosa¨ ıques. La premi` ere section introduit les op´ erations laissant une frise inchang´ ee de fa¸ con
intuitive et g´ eom´ etrique. Elle pr´ esente ce que seront les ´ etapes de la preuve du th´ eor` eme
de classification des frises. La section 2.2 introduit les transformations affines (et
leur repr´ esentation matricielle) et les isom´ etries. La section 2.3 conclut la preuve du
th´ eor` eme de classification. La derni` ere section parle, d’une fa¸ con beaucoup plus succincte, des mosa¨ ıques. La preuve du th´ eor` eme de classification (section 2.3) est la section la plus difficile. Les sections 2.1 et 2.4 peuvent ˆ etre couvertes en trois heures ; les
outils seront alors purement g´ eom´ etriques, et les ´ etudiants auront une id´ ee de la preuve.
Il faut au moins quatre heures pour couvrir les trois premi` eres sections. Quel que soit le
mat´ eriel choisi, il est conseill´ e de se munir de deux copies sur support transparent des
frises de la figure 2.2 ; leur projection sur un ´ ecran permet de comprendre rapidement
les diverses op´ erations de sym´ etrie en jeu. Seules des connaissances en alg` ebre lin´ eaire
et en g´ eom´ etrie euclidienne sont n´ ecessaires `
a la lecture de ce chapitre. La preuve du
th´ eor` eme de classification requiert une habitude du raisonnement abstrait.
Ce sujet offre plusieurs pistes attrayantes pour poursuivre l’exploration : les pavages
ap´ eriodiques (fin de la section 2.4) en sont une, les exercices 13, 14, 15 et 16 en
proposent d’autres.
Les frises et les mosa¨ ıques sont des ´ el´ ements de d´ ecoration architecturaux qui sont
utilis´ es depuis quelques mill´ enaires. Les grandes civilisations sum´ erienne, ´ egyptienne
et maya les utilisaient avec brio. Inutile de pr´ etendre dans ce cas que ce sont les
math´ ematiques qui ont contribu´ e ` a l’´ etablissement de cette « technologie ». L’´ etude des
frises et mosa¨ ıques, comme sujet math´ ematique, est relativement r´ ecente ; son d´ ebut
date d’au plus deux si` ecles. Le m´ emoire de Bravais [1] est probablement le premier
texte scientifique `
a en faire l’analyse.
Les math´ ematiques peuvent cependant revendiquer une ´ etude et une classification
syst´ ematique des patrons que l’on retrouve en architecture. Ces classifications ont amen´ e
les math´ ematiciens ` a pr´ eciser les r` egles. Ce faisant, ils ont permis ` a ceux qui les utilisaient
de mieux comprendre ces r` egles et donc, de pouvoir les enfreindre pour innover.
Frises et mosa¨ ıques
Ce chapitre pr´ esente la classification des frises et quelques concepts reli´ es aux mosa¨ ıques. La premi` ere section introduit les op´ erations laissant une frise inchang´ ee de fa¸ con
intuitive et g´ eom´ etrique. Elle pr´ esente ce que seront les ´ etapes de la preuve du th´ eor` eme
de classification des frises. La section 2.2 introduit les transformations affines (et
leur repr´ esentation matricielle) et les isom´ etries. La section 2.3 conclut la preuve du
th´ eor` eme de classification. La derni` ere section parle, d’une fa¸ con beaucoup plus succincte, des mosa¨ ıques. La preuve du th´ eor` eme de classification (section 2.3) est la section la plus difficile. Les sections 2.1 et 2.4 peuvent ˆ etre couvertes en trois heures ; les
outils seront alors purement g´ eom´ etriques, et les ´ etudiants auront une id´ ee de la preuve.
Il faut au moins quatre heures pour couvrir les trois premi` eres sections. Quel que soit le
mat´ eriel choisi, il est conseill´ e de se munir de deux copies sur support transparent des
frises de la figure 2.2 ; leur projection sur un ´ ecran permet de comprendre rapidement
les diverses op´ erations de sym´ etrie en jeu. Seules des connaissances en alg` ebre lin´ eaire
et en g´ eom´ etrie euclidienne sont n´ ecessaires `
a la lecture de ce chapitre. La preuve du
th´ eor` eme de classification requiert une habitude du raisonnement abstrait.
Ce sujet offre plusieurs pistes attrayantes pour poursuivre l’exploration : les pavages
ap´ eriodiques (fin de la section 2.4) en sont une, les exercices 13, 14, 15 et 16 en
proposent d’autres.
Les frises et les mosa¨ ıques sont des ´ el´ ements de d´ ecoration architecturaux qui sont
utilis´ es depuis quelques mill´ enaires. Les grandes civilisations sum´ erienne, ´ egyptienne
et maya les utilisaient avec brio. Inutile de pr´ etendre dans ce cas que ce sont les
math´ ematiques qui ont contribu´ e ` a l’´ etablissement de cette « technologie ». L’´ etude des
frises et mosa¨ ıques, comme sujet math´ ematique, est relativement r´ ecente ; son d´ ebut
date d’au plus deux si` ecles. Le m´ emoire de Bravais [1] est probablement le premier
texte scientifique `
a en faire l’analyse.
Les math´ ematiques peuvent cependant revendiquer une ´ etude et une classification
syst´ ematique des patrons que l’on retrouve en architecture. Ces classifications ont amen´ e
les math´ ematiciens ` a pr´ eciser les r` egles. Ce faisant, ils ont permis ` a ceux qui les utilisaient
de mieux comprendre ces r` egles et donc, de pouvoir les enfreindre pour innover.