548
15 Flashs-science
Fig. 15.31. Diagramme de Vorono¨ ı de deux points P et Q.
Fig. 15.32. Une cellule de Vorono¨ ı.
Π i,j et Π j,i , le premier contenant P i et le second, P j . La cellule de Vorono¨ ı V (P i ) d’un
site P i est l’intersection des demi-plans Π i,j pour j = i (figure 15.32) :
V (P i ) =
j =i
Π i,j .
Preuve La preuve est facile. Soit R i =
j =i Π i,j . On doit montrer que R i = V (P i ).
Soit R ∈ R i . Alors, pour tout j = i, on a R ∈ Π i,j , ce qui entraˆ ıne |P i R| ≤ |P j R|. Alors,
R ∈ V (P i ) par d´ efinition de V (P i ). Donc, R i ⊂
j =i Π i,j . Supposons maintenant que
R /
∈ R : il existe j = i tel que R /
∈ Π i,j . Par cons´ equent, |P i R| > |P j R| et, finalement,
R /
∈ V (P i ).
On peut donc conclure que R i = V (P i ).
Voyons maintenant quelle est la forme d’une cellule de Vorono¨ ı.