12.6 Exercices
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12.6 Exercices
1. a) V´ erifier que, si x ∈ [−1, 1] ⊂ R, alors aff 1 (x) = 255(x + 1)/2 est un ´ el´ ement de
[0, 255].
b) Est-ce que aff 1 est la transformation id´ eale ? Pour quels x a-t-on aff 1 (x) = 255 ?
Pouvez-vous proposer une fonction aff
telle que tous les entiers de {0, 1, 2, . . . , 255}
soient les images de sous-intervalles [−1, 1] de longueur ´ egale ?
c) Donner l’inverse de aff 1 . La fonction aff
ne peut pas avoir d’inverse. Pourquoi ?
Pouvez-vous, malgr´ e cela, proposer une r` egle qui permettrait de construire une
fonction g ` a partir d’une fonction f comme dans la section 12.3 ?
2. a) V´ erifier que les quatre vecteurs A 00 , A 01 , A 10 et A 11 de (12.4) dans la base
usuelle B sont orthonorm´ es, c’est-` a-dire qu’ils sont de longueur 1 et mutuellement
orthogonaux.
b) Soit v le vecteur dont les composantes dans la base B sont
[v] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
−
3
8
5
8
1
2
−
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Donner ses coordonn´ ees dans la base B
= {A 00 , A 01 , A 10 , A 11 }. Quelle est la plus
grande composante de [v] B en valeur absolue ? Auriez-vous pu le pr´ evoir sans calculer explicitement ses composantes ? Comment ?
3. a) Montrer que la matrice C, N ×N , donnant la transformation en cosinus discr` ete
utilis´ ee par le standard JPEG est, pour N = 4, de la forme
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
1
2
1
2
1
2
γ
δ
−δ −γ
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
δ −γ
γ
−δ
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Exprimer les deux inconnues γ et δ en fonction de la fonction cosinus.
b) En utilisant l’identit´ e trigonom´ etrique cos 2θ = 2 cos
2 θ − 1, exprimer explicitement les nombres γ et δ. (« Explicitement » veut dire ici : comme expression
alg´ ebrique de nombres entiers et de radicaux, mais sans la fonction cosinus.) En
utilisant ces expressions, montrer que la deuxi` eme ligne de C repr´ esente un vecteur
de norme 1 comme l’exige l’orthogonalit´ e de la matrice C.
4. a) Par la transformation en cosinus discr` ete, les fonctions discr` etes g : {0, . . . , N −
1} → R donn´ ees par g(i) = g i peuvent ˆ etre exprim´ ees comme des combinaisons
lin´ eaires des N fonctions de base discr` etes C k telles que C k (i) = (C k ) i = c ki , k =
0, 1, 2, . . . , N − 1, `
a l’aide de g =
N −1
k=0 β k C k , ce qui donne
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1. a) V´ erifier que, si x ∈ [−1, 1] ⊂ R, alors aff 1 (x) = 255(x + 1)/2 est un ´ el´ ement de
[0, 255].
b) Est-ce que aff 1 est la transformation id´ eale ? Pour quels x a-t-on aff 1 (x) = 255 ?
Pouvez-vous proposer une fonction aff
telle que tous les entiers de {0, 1, 2, . . . , 255}
soient les images de sous-intervalles [−1, 1] de longueur ´ egale ?
c) Donner l’inverse de aff 1 . La fonction aff
ne peut pas avoir d’inverse. Pourquoi ?
Pouvez-vous, malgr´ e cela, proposer une r` egle qui permettrait de construire une
fonction g ` a partir d’une fonction f comme dans la section 12.3 ?
2. a) V´ erifier que les quatre vecteurs A 00 , A 01 , A 10 et A 11 de (12.4) dans la base
usuelle B sont orthonorm´ es, c’est-` a-dire qu’ils sont de longueur 1 et mutuellement
orthogonaux.
b) Soit v le vecteur dont les composantes dans la base B sont
[v] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
−
3
8
5
8
1
2
−
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Donner ses coordonn´ ees dans la base B
= {A 00 , A 01 , A 10 , A 11 }. Quelle est la plus
grande composante de [v] B en valeur absolue ? Auriez-vous pu le pr´ evoir sans calculer explicitement ses composantes ? Comment ?
3. a) Montrer que la matrice C, N ×N , donnant la transformation en cosinus discr` ete
utilis´ ee par le standard JPEG est, pour N = 4, de la forme
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
1
2
1
2
1
2
γ
δ
−δ −γ
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
δ −γ
γ
−δ
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Exprimer les deux inconnues γ et δ en fonction de la fonction cosinus.
b) En utilisant l’identit´ e trigonom´ etrique cos 2θ = 2 cos
2 θ − 1, exprimer explicitement les nombres γ et δ. (« Explicitement » veut dire ici : comme expression
alg´ ebrique de nombres entiers et de radicaux, mais sans la fonction cosinus.) En
utilisant ces expressions, montrer que la deuxi` eme ligne de C repr´ esente un vecteur
de norme 1 comme l’exige l’orthogonalit´ e de la matrice C.
4. a) Par la transformation en cosinus discr` ete, les fonctions discr` etes g : {0, . . . , N −
1} → R donn´ ees par g(i) = g i peuvent ˆ etre exprim´ ees comme des combinaisons
lin´ eaires des N fonctions de base discr` etes C k telles que C k (i) = (C k ) i = c ki , k =
0, 1, 2, . . . , N − 1, `
a l’aide de g =
N −1
k=0 β k C k , ce qui donne