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11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
• nous commen¸ cons par faire la moyenne des tons de gris des carr´ es 2 × 2 du grand
carr´ e G i ;
• nous appliquons simplement la transformation (11.17) qui revient `
a envoyer G i
sur C i sans faire d’ajustement de tons de gris ;
• nous composons avec l’application (x, y, z) → (x, y, s i z + g i ) qui revient `
a ajuster
les tons de gris.
La compos´ ee des deux premi` eres transformations produit une image sur C i donn´ ee par
une fonction ˜
f Ci , et on a
f Ci = s i ˜
f Ci + g i .
(11.20)
Pour minimiser d
2
4 dans (11.19), on remplace f Ci par son expression dans (11.20)
et on ´ ecrit que les d´ eriv´ ees partielles par rapport `
a s i et ` a g i sont ´ egales ` a z´ ero. Si la
d´ eriv´ ee partielle par rapport ` a g i est ´ egale `
a z´ ero, on a
x∈Hi
y∈Vi
f Ci (x, y) = s i
x∈Hi
y∈Vi
˜
f Ci (x, y) + 16g i ,
ce qui revient `
a dire que les fonctions f Ci et f Ci ont le mˆ eme niveau moyen de gris.
Si la d´ eriv´ ee partielle par rapport ` a s i est ´ egale `
a z´ ero, on obtient (apr` es quelques
simplifications)
s i =
Cov(f Ci , ˜
f Ci )
var( ˜
f Ci )
,
o` u la covariance, Cov(f Ci , ˜
f Ci ), de f Ci et ˜
f Ci est d´ efinie par
Cov(f Ci , ˜
f Ci ) =
1
16
x∈Hi
y∈Vi
f Ci (x, y) ˜
f Ci (x, y)
−
1
16 2
⎛
⎝
x∈Hi
y∈Vi
f Ci (x, y)
⎞
⎠
⎛
⎝
x∈Hi
y∈Vi
˜
f Ci (x, y)
⎞
⎠ ,
et la variance var( ˜
f Ci ) est simplement d´ efinie par
var( ˜
f Ci ) = Cov( ˜
f Ci , ˜
f Ci ).
Op´ erateur W associ´ e au syst` eme de fonctions it´ er´ ees partitionn´ e {T i } i∈I ´
Etant
donn´ e une image quelconque f ∈ F en tons de gris, W (f ) est l’image obtenue quand
on remplace l’image f Ci de chaque petit carr´ e C i par l’image par f Ci du grand carr´ e
G i associ´ e. Ceci donne une photographie f ∈ F d´ efinie par
f (x, y) = f Ci (x, y)
si (x, y) ∈ C i .
L’attracteur de ce syst` eme de fonctions it´ er´ ees devrait ˆ etre la photographie que l’on
veut comprimer (et reproduire par la suite). Ainsi, W : F → F est un op´ erateur