11.7 Une photographie comme attracteur
361
est strictement d´ ecroissante sur [0, 2], car
f
(D) = r
D
1 ln r 1 + . . . r
D
m ln r m < 0.
En effet, r i < 1 implique que ln r i < 0. De plus, f (0) = m − 1 > 1 et f (2) = r
2
1 +
· · · + r
2
m − 1 < 0 de par (11.12). Donc, de par le th´ eor` eme de la valeur interm´ ediaire,
la fonction f (D) a une racine unique dans [0, 2]. On peut faire tracer la fonction pour
trouver cette racine ou encore, utiliser la m´ ethode de Newton.
Exemple 11.25 Calculons la dimension fractale de l’attracteur d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , T 2 , T 3 } de facteurs de contraction exacts r 1 = 0,5, r 2 = 0,4 et r 3 = 0,7.
La figure 11.8(a) repr´ esente le graphe de la fonction
f (D) = 0,5
D + 0,4
D + 0,7
D
− 1
sur [0, 2]. Sur la figure 11.8(b) on a agrandi la zone [1,75; 1,85] pour ´ evaluer la racine
avec plus de pr´ ecision. On obtient D(A) ≈ 1,81.
(a)
(b)
Fig. 11.8. Le graphe de f (D) sur [0, 2] et sur [1,75; 1,85]
11.7 Une photographie comme attracteur
d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees ?
Tout ce que nous avons vu est bien beau sur le plan th´ eorique, mais ne nous avance
pas beaucoup quand il s’agit de comprimer l’information d’une image. On a vu qu’on
peut garder en m´ emoire sous forme d’un programme tr` es court toute l’information pour
reconstruire une fractale. Mais pour profiter de cette ´ enorme compression, il faudrait
savoir reconnaˆ ıtre les ´ el´ ements d’une photographie qui ont un grand degr´ e d’autosimilarit´ e et construire les programmes tr` es courts qui les engendrent. Est-ce que toutes les
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est strictement d´ ecroissante sur [0, 2], car
f
(D) = r
D
1 ln r 1 + . . . r
D
m ln r m < 0.
En effet, r i < 1 implique que ln r i < 0. De plus, f (0) = m − 1 > 1 et f (2) = r
2
1 +
· · · + r
2
m − 1 < 0 de par (11.12). Donc, de par le th´ eor` eme de la valeur interm´ ediaire,
la fonction f (D) a une racine unique dans [0, 2]. On peut faire tracer la fonction pour
trouver cette racine ou encore, utiliser la m´ ethode de Newton.
Exemple 11.25 Calculons la dimension fractale de l’attracteur d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , T 2 , T 3 } de facteurs de contraction exacts r 1 = 0,5, r 2 = 0,4 et r 3 = 0,7.
La figure 11.8(a) repr´ esente le graphe de la fonction
f (D) = 0,5
D + 0,4
D + 0,7
D
− 1
sur [0, 2]. Sur la figure 11.8(b) on a agrandi la zone [1,75; 1,85] pour ´ evaluer la racine
avec plus de pr´ ecision. On obtient D(A) ≈ 1,81.
(a)
(b)
Fig. 11.8. Le graphe de f (D) sur [0, 2] et sur [1,75; 1,85]
11.7 Une photographie comme attracteur
d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees ?
Tout ce que nous avons vu est bien beau sur le plan th´ eorique, mais ne nous avance
pas beaucoup quand il s’agit de comprimer l’information d’une image. On a vu qu’on
peut garder en m´ emoire sous forme d’un programme tr` es court toute l’information pour
reconstruire une fractale. Mais pour profiter de cette ´ enorme compression, il faudrait
savoir reconnaˆ ıtre les ´ el´ ements d’une photographie qui ont un grand degr´ e d’autosimilarit´ e et construire les programmes tr` es courts qui les engendrent. Est-ce que toutes les