11.4 It´ eration d’une contraction et point fixe
347
nIteration = 20000;
A = {{0., 0.}};
Do[AppendTo[A, transfoAff[t[[choixT]], Last[A]]], {nIteration}]
ListPlot[A, AspectRatio -> Automatic, Axes -> False]
11.4 It´ eration d’une contraction et point fixe
La lecture compl` ete de cette section exige quelques notions d’analyse, mais on peut
essayer de la parcourir pour retenir les id´ ees.
Nous avons annonc´ e pr´ ec´ edemment que, pour tout syst` eme de fonctions it´ er´ ees
{T 1 , . . . , T m }, il existe un unique sous-ensemble A du plan qui est un point fixe de
l’op´ erateur W d´ efini par
W (B) = T 1 (B) ∪ · · · ∪ T m (B).
(11.6)
Ce sous-ensemble A satisfaisant `
a W (A) = A est appel´ e l’attracteur du syst` eme de
fonctions it´ er´ ees. Nous voulons maintenant justifier cette propri´ et´ e.
Un th´ eor` eme d’analyse dans R va nous donner la cl´ e.
Th´ eor` eme 11.6 Soit f : R → R une contraction, c’est-` a-dire qu’il existe 0 < r < 1 tel
que, pour tous x, x
∈ R, on a
|f (x) − f (x
)| ≤ r|x − x
|.
Alors, f a un unique point fixe a ∈ R tel que f (a) = a.
Nous allons faire la preuve du th´ eor` eme pour d´ ecouvrir ses ressorts internes. En particulier, nous remarquerons qu’on peut remplacer R par n’importe quel intervalle ferm´ e
[α, β] et, plus g´ en´ eralement, par tout ensemble m´ etrique complet (voir ci-dessous pour
une d´ efinition intuitive). Mais nous ne pourrions pas remplacer R par Q ni par un intervalle ouvert (α, β). Lorsque nous voudrons g´ en´ eraliser le th´ eor` eme, nous remplacerons
la notion de point de R par la notion de sous-ensemble ferm´ e born´ e de R
2 et la fonction
f par l’op´ erateur W d´ efini en (11.6). Il nous faudra alors d´ efinir une distance entre deux
sous-ensembles (l’´ equivalent de |x−x
| qui repr´ esente la distance entre deux nombres) et
montrer que W est une contraction pour cette distance. On utilisera le mˆ eme argument
d´ eductif que dans la preuve du th´ eor` eme 11.6 pour d´ emontrer l’existence d’un unique
attracteur A, un sous-ensemble ferm´ e born´ e de R
2 , qui est le point fixe de W .
Preuve du th´ eor` eme 11.6 Commen¸ cons par montrer que, si f a un point fixe, alors
ce point fixe est unique. Supposons que a 1 = a 2 soient deux points fixes de f . Alors,
f (a 2 ) − f (a 1 ) = a 2 − a 1 , car ce sont des points fixes. D’autre part, comme f est une
contraction, on a |f (a 2 ) − f (a 1 )| ≤ r|a 2 − a 1 |, 0 < r < 1. Contradiction.
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nIteration = 20000;
A = {{0., 0.}};
Do[AppendTo[A, transfoAff[t[[choixT]], Last[A]]], {nIteration}]
ListPlot[A, AspectRatio -> Automatic, Axes -> False]
11.4 It´ eration d’une contraction et point fixe
La lecture compl` ete de cette section exige quelques notions d’analyse, mais on peut
essayer de la parcourir pour retenir les id´ ees.
Nous avons annonc´ e pr´ ec´ edemment que, pour tout syst` eme de fonctions it´ er´ ees
{T 1 , . . . , T m }, il existe un unique sous-ensemble A du plan qui est un point fixe de
l’op´ erateur W d´ efini par
W (B) = T 1 (B) ∪ · · · ∪ T m (B).
(11.6)
Ce sous-ensemble A satisfaisant `
a W (A) = A est appel´ e l’attracteur du syst` eme de
fonctions it´ er´ ees. Nous voulons maintenant justifier cette propri´ et´ e.
Un th´ eor` eme d’analyse dans R va nous donner la cl´ e.
Th´ eor` eme 11.6 Soit f : R → R une contraction, c’est-` a-dire qu’il existe 0 < r < 1 tel
que, pour tous x, x
∈ R, on a
|f (x) − f (x
)| ≤ r|x − x
|.
Alors, f a un unique point fixe a ∈ R tel que f (a) = a.
Nous allons faire la preuve du th´ eor` eme pour d´ ecouvrir ses ressorts internes. En particulier, nous remarquerons qu’on peut remplacer R par n’importe quel intervalle ferm´ e
[α, β] et, plus g´ en´ eralement, par tout ensemble m´ etrique complet (voir ci-dessous pour
une d´ efinition intuitive). Mais nous ne pourrions pas remplacer R par Q ni par un intervalle ouvert (α, β). Lorsque nous voudrons g´ en´ eraliser le th´ eor` eme, nous remplacerons
la notion de point de R par la notion de sous-ensemble ferm´ e born´ e de R
2 et la fonction
f par l’op´ erateur W d´ efini en (11.6). Il nous faudra alors d´ efinir une distance entre deux
sous-ensembles (l’´ equivalent de |x−x
| qui repr´ esente la distance entre deux nombres) et
montrer que W est une contraction pour cette distance. On utilisera le mˆ eme argument
d´ eductif que dans la preuve du th´ eor` eme 11.6 pour d´ emontrer l’existence d’un unique
attracteur A, un sous-ensemble ferm´ e born´ e de R
2 , qui est le point fixe de W .
Preuve du th´ eor` eme 11.6 Commen¸ cons par montrer que, si f a un point fixe, alors
ce point fixe est unique. Supposons que a 1 = a 2 soient deux points fixes de f . Alors,
f (a 2 ) − f (a 1 ) = a 2 − a 1 , car ce sont des points fixes. D’autre part, comme f est une
contraction, on a |f (a 2 ) − f (a 1 )| ≤ r|a 2 − a 1 |, 0 < r < 1. Contradiction.